牽涉配方法、二次函數轉換以判斷一三角的外心的y坐標

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題目

設 f(x)=3x2−6kx+6k2+4{f{{\left({x}\right)}}}={3}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4} ，其中 k{k} 為一實常數。

(a)y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} 的圖像是否與 x{x} 軸相交？試解釋你的答案。(2 分)
(b)利用配方法，以 k{k} 表 y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} 的圖像的頂點的坐標。(3 分)
(c)在同一直角坐標系中，設 S{S} 及 T{T} 分別為 y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} 的圖像及 y=2−f(x){y}={2}-{f{{\left({x}\right)}}} 的圖像上的動點。將原點記為 O{O} 。某人宣稱當 S{S} 與 T{T} 最接近時， △OST\triangle{O}{S}{T} 的外心在 x{x} 軸上。該宣稱是否正確？試解釋你的答案。(4 分)

題解

(a)f(x){f{{\left({x}\right)}}} 的判別式 (Δ){\left(\Delta\right)}
=(−6k)2−4(3)(6k2+4)={\left(-{6}{k}\right)}^{{2}}-{4}{\left({3}\right)}{\left({6}{k}^{{2}}+{4}\right)}1M
=36k2−72k2−48={36}{k}^{{2}}-{72}{k}^{{2}}-{48}
=−36k2−48=-{36}{k}^{{2}}-{48}接受 −12(3k2+4)-{12}{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}
<0\lt{0}
因此，y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} 的圖像不與 x{x} 軸相交。1A必須顯示理由
(b)f(x){f{{\left({x}\right)}}}
=3x2−6kx+6k2+4={3}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4}
=3(x2−2kx)+6k2+4={3}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}
=3(x2−2kx+k2−k2)+6k2+4={3}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}+{k}^{{2}}-{k}^{{2}}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}1M給完全平方
=3(x−k)2+3k2+4={3}{\left({x}-{k}\right)}^{{2}}+{3}{k}^{{2}}+{4}1A
因此，頂點的坐標為 (k,3k2+4){\left({k},{3}{k}^{{2}}+{4}\right)} 。1M
(c)藉 (b) ， y=−f(x){y}=-{f{{\left({x}\right)}}} 的圖像的頂點的坐標為 (k,−3k2−4){\left({k},-{3}{k}^{{2}}-{4}\right)} 。
故此， y=2−f(x){y}={2}-{f{{\left({x}\right)}}} 的圖像的頂點的坐標為 (k,−3k2−2){\left({k},-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)} 。1M
當 S{S} 與 T{T} 最接近時， S{S} 及 T{T} 的坐標分別為 (k,3k2+4){\left({k},{3}{k}^{{2}}+{4}\right)} 及 (k,−3k2−2){\left({k},-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)} 。
留意到 ST{S}{T} 為一垂直線。1M
因此， ST{S}{T} 的垂直平分線為一水平線。
△OST\triangle{O}{S}{T} 的外心的 y{y} 坐標
=(3k2+4)+(−3k2−2)2=\dfrac{{{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}+{\left(-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)}}}{{2}}1M
=1={1}
≠0\ne{0}
故此，△OST\triangle{O}{S}{T} 的外心不在 x{x} 軸上。
因此，該宣稱不正確。1A必須顯示理由
可參考下圖，圖中只為其中一個可能之情況。

x{x}y{y}S(k,3k2+4){S}{\left({k},{3}{k}^{{2}}+{4}\right)}T(k,−3k2−2){T}{\left({k},-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)}y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}}y=2−f(x){y}={2}-{f{{\left({x}\right)}}}
其他方法

(c)假設當 S{S} 與 T{T} 最接近時， △OST\triangle{O}{S}{T} 的外心在 x{x} 軸上。
S{S} 及 T{T} 的坐標分別為 (k,3k2+4){\left({k},{3}{k}^{{2}}+{4}\right)} 及 (k,−3k2−2){\left({k},-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)} 。1M
設 (c,0){\left({c},{0}\right)} 為 △OST\triangle{O}{S}{T} 的外心 R{R} 的坐標。
RS{R}{S}1M任何一項
=(c−k)2+(0−(3k2+4))2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}\right)}^{{2}}}}
=(c−k)2+(3k2+4)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}
RT{R}{T}
=(c−k)2+(0−(−3k2−2))2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left(-{3}{k}^{{2}}-{2}\right)}\right)}^{{2}}}}
=(c−k)2+(3k2+2)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({3}{k}^{{2}}+{2}\right)}^{{2}}}}
解後可求得 k{k} ，
RS{R}{S}=RT={R}{T}
(c−k)2+(3k2+4)2\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}=(c−k)2+(3k2+2)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({3}{k}^{{2}}+{2}\right)}^{{2}}}}
(3k2+4)2{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}=(3k2+2)2={\left({3}{k}^{{2}}+{2}\right)}^{{2}}
(3k2+4)2−(3k2+2)2{\left({3}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}-{\left({3}{k}^{{2}}+{2}\right)}^{{2}}=0={0}
(6k2+6)(2){\left({6}{k}^{{2}}+{6}\right)}{\left({2}\right)}=0={0}
k2{k}^{{2}}=−1=-{1}出現矛盾
由於 k{k} 為一實常數， RS≠RT{R}{S}\ne{R}{T} 。1M
故此， △OST\triangle{O}{S}{T} 的外心不可能在 x{x} 軸上。
因此，該宣稱不正確。1A必須顯示理由


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