求k值使得一圓與一直線相交

主題為「求k值使得一圓與一直線相交」的題目樣本

題目

求 ${k}$ 值的範圍使得圓 ${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{8}{x}-{16}{y}+{28}={0}$ 與直線 ${4}{x}-{6}{y}+{k}={0}$ 相交。

{12}\le{k}\le{116}

{12}\lt{k}\lt{116}

{k}\le-{116}

或

{k}\ge-{12}

{k}\lt-{116}

或

{k}\gt-{12}

題解

${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{8}{x}-{16}{y}+{28}$	$={0}$
${4}{x}-{6}{y}+{k}$	$={0}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{8}{x}-{16}{y}+{28}$	$={0}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
${y}$	$=\dfrac{{2}}{{3}}{x}+\dfrac{{k}}{{6}}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
代 ${\left({2}\right)}$ 至 ${\left({1}\right)}$ ：
${x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{2}}{{3}}{x}+\dfrac{{k}}{{6}}\right)}^{{2}}+{8}{x}-{16}{\left(\dfrac{{2}}{{3}}{x}+\dfrac{{k}}{{6}}\right)}+{28}$	$={0}$
${x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{4}}{{9}}{x}^{{2}}+\dfrac{{2}}{{9}}{k}{x}+\dfrac{{1}}{{36}}{k}^{{2}}\right)}+{8}{x}+{\left(-\dfrac{{32}}{{3}}{x}-\dfrac{{8}}{{3}}{k}\right)}+{28}$	$={0}$
$\dfrac{{13}}{{9}}{x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{2}}{{9}}{k}-\dfrac{{8}}{{3}}\right)}{x}+{\left(\dfrac{{1}}{{36}}{k}^{{2}}-\dfrac{{8}}{{3}}{k}+{28}\right)}$	$={0}$	$\ldots{\left(\ast\right)}$
∵ ${\left({1}\right)}$ 與 ${\left({2}\right)}$ 相交， ${\left(\ast\right)}$ 有實根。
∴ ${\left(\dfrac{{2}}{{9}}{k}-\dfrac{{8}}{{3}}\right)}^{{2}}-{4}{\left(\dfrac{{13}}{{9}}\right)}{\left(\dfrac{{1}}{{36}}{k}^{{2}}-\dfrac{{8}}{{3}}{k}+{28}\right)}$	$\ge{0}$		${b}^{{2}}-{4}{a}{c}\ge{0}$
$\dfrac{{4}}{{81}}{k}^{{2}}-\dfrac{{32}}{{27}}{k}+\dfrac{{64}}{{9}}+{\left(-\dfrac{{13}}{{81}}{k}^{{2}}+\dfrac{{416}}{{27}}{k}-\dfrac{{1456}}{{9}}\right)}$	$\ge{0}$
$-\dfrac{{1}}{{9}}{k}^{{2}}+\dfrac{{128}}{{9}}{k}-\dfrac{{464}}{{3}}$	$\ge{0}$
可解得 ${12}\le{k}\le{116}$ 。

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ePractice 是一個專為中四至中六而設的應用程式，旨為協助學生高效地預備 DSE 數學（必修部分）考試。ePractice 是網站應用程式，因此無論使用任何裝置、平台，都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

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