求一除去劣弓形的半圓面積

主題為「求一除去劣弓形的半圓面積」的題目樣本

題目

圖中,AB{A}{B} 為圓 ABCD{A}{B}{C}{D} 的直徑。若 AB=18  cm{A}{B}={18}\ \text{ cm}CD=9  cm{C}{D}={9}\ \text{ cm},則陰影部分的面積為

A{A}B{B}C{C}D{D}
A
(27π+8143)  cm2{\left({27}\pi+\dfrac{{81}}{{4}}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}
B
(27π8143)  cm2{\left({27}\pi-\dfrac{{81}}{{4}}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}
C
(27π814)  cm2{\left({27}\pi-\dfrac{{81}}{{4}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}
D
(27π+814)  cm2{\left({27}\pi+\dfrac{{81}}{{4}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}
題解

O{O} 為圓心。
連接 OC{O}{C}OD{O}{D}
OA{O}{A}=OB=182=9  cm={O}{B}=\dfrac{{18}}{{2}}={9}\ \text{ cm}半徑
留意到 OCD\angle{O}{C}{D} 為一等邊三角形。
∴  COD=60\angle{C}{O}{D}={60}^{\circ}
陰影部分的面積
==半圓形的面積 -CD{C}{D}為弦的劣弓形之面積
==半圓形的面積 - 扇形 OCD{O}{C}{D} 的面積+OCD+\triangle{O}{C}{D} 的面積
=12π(9)260360π(9)2+12(9)(9)(sin60)=\dfrac{{1}}{{2}}\pi{\left({9}\right)}^{{2}}-\dfrac{{60}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\pi{\left({9}\right)}^{{2}}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({9}\right)}{\left({9}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}
=812π272π+12(9)(9)(32)=\dfrac{{81}}{{2}}\pi-\dfrac{{27}}{{2}}\pi+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({9}\right)}{\left({9}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}\right)}sin60=32{{\sin{{60}}}^{\circ}=}\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}
=812π272π+8143=\dfrac{{81}}{{2}}\pi-\dfrac{{27}}{{2}}\pi+\dfrac{{81}}{{4}}\sqrt{{{3}}}
=(27π+8143)  cm2={\left({27}\pi+\dfrac{{81}}{{4}}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}



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《羅密歐與朱麗葉》威廉・莎士比亞