求一直線與一圓的兩相交點之中點坐標

主題為「求一直線與一圓的兩相交點之中點坐標」的題目樣本

題目

若直線 10x9y44=0-{10}{x}-{9}{y}-{44}={0} 與圓 x2+y2744x39188y1272=0{x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-\dfrac{{7}}{{44}}{x}-\dfrac{{391}}{{88}}{y}-\dfrac{{127}}{{2}}={0} 相交於 A(x1,y1){A}{\left({x}_{{1}},{y}_{{1}}\right)}B(x2,y2){B}{\left({x}_{{2}},{y}_{{2}}\right)},則 AB{A}{B} 的中點的 y{y} 坐標 =

A
1-{1}
B
72-\dfrac{{7}}{{2}}
C
12-\dfrac{{1}}{{2}}
D
74-\dfrac{{7}}{{4}}
題解

x{x}=910y225=-\dfrac{{9}}{{10}}{y}-\dfrac{{22}}{{5}}(1)\ldots{\left({1}\right)}
x2+y2744x39188y1272{x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-\dfrac{{7}}{{44}}{x}-\dfrac{{391}}{{88}}{y}-\dfrac{{127}}{{2}}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
(1){\left({1}\right)}(2){\left({2}\right)}中,
(910y225)2+y2744(910y225)39188y1272{\left(-\dfrac{{9}}{{10}}{y}-\dfrac{{22}}{{5}}\right)}^{{{2}}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{7}}{{44}}{\left(-\dfrac{{9}}{{10}}{y}-\dfrac{{22}}{{5}}\right)}-\dfrac{{391}}{{88}}{y}-\dfrac{{127}}{{2}}=0={0}
81100y2+19825y+48425+y2+63440y+71039188y1272\dfrac{{81}}{{100}}{y}^{{2}}+\dfrac{{198}}{{25}}{y}+\dfrac{{484}}{{25}}+{y}^{{2}}+\dfrac{{63}}{{440}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}-\dfrac{{391}}{{88}}{y}-\dfrac{{127}}{{2}}=0={0}
181100y2+18150y108625\dfrac{{181}}{{100}}{y}^{{2}}+\dfrac{{181}}{{50}}{y}-\dfrac{{1086}}{{25}}=0={0}
(y4)(y+6){\left({y}-{4}\right)}{\left({y}+{6}\right)}=0={0}
y{y}=4={4}y=6{y}=-{6}
∴  A{A}B{B}y{y} 坐標分別是 4{4}6-{6}
AB{A}{B} 的中點的 y{y} 坐標
=462=\dfrac{{{4}-{6}}}{{2}}
=1=-{1}

解題捷徑

留意到圓心至弦的垂線將會平分弦。
圓心 =(7442,391882)=(788,391176)={\left(\dfrac{{-\dfrac{{7}}{{44}}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-\dfrac{{391}}{{88}}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{7}}{{88}},\dfrac{{391}}{{176}}\right)}
L{L} 為一直線使得其同時穿過 AB{A}{B} 的中點與圓心。
AB{A}{B} 的斜率=109=-\dfrac{{10}}{{9}}
∵  ABL{A}{B}\bot{L}L{L} 的斜率=1109=910=\dfrac{{-{1}}}{{-\dfrac{{10}}{{9}}}}=\dfrac{{9}}{{10}}
L{L} 的直線方程為:
y391176=910(x788){y}-\dfrac{{391}}{{176}}=\dfrac{{9}}{{10}}{\left({x}-\dfrac{{7}}{{88}}\right)}點斜式
L:{L}:y{y}=910x+4320=\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{43}}{{20}}(1)\ldots{\left({1}\right)}
AB:{A}{B}:10x9y44-{10}{x}-{9}{y}-{44}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
(1){\left({1}\right)}(2){\left({2}\right)}中,
10x9(910x+4320)44-{10}{x}-{9}{\left(\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{43}}{{20}}\right)}-{44}=0={0}
10x8110x3872044-{10}{x}-\dfrac{{81}}{{10}}{x}-\dfrac{{387}}{{20}}-{44}=0={0}
18110x126720-\dfrac{{181}}{{10}}{x}-\dfrac{{1267}}{{20}}=0={0}
x{x}=72=-\dfrac{{7}}{{2}}
x{x}=72=-\dfrac{{7}}{{2}}(1){\left({1}\right)}中:
y{y}=910(72)+4320=\dfrac{{9}}{{10}}{\left(-\dfrac{{7}}{{2}}\right)}+\dfrac{{43}}{{20}}
=1=-{1}
∴  AB{A}{B} 的中點的 y{y} 坐標為 1-{1}



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