正態分佈下的百分數;數據改變的影響

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題目

某校所有學生的英文科考試分數(滿分為 100{100})呈正態分佈,其平均值及方差分別為 49{49}64{64} 。假設所有學生的分數增加至原來的 4{4} 倍,求新的分佈中分數在 100{100}260{260} 之間的所生所估的百份數。

A
97.35%{97.35}\%
B
95%{95}\%
C
81.5%{81.5}\%
D
99.5%{99.5}\%
題解

原來的標準差 σ1\sigma_{{1}}=64=\sqrt{{{64}}}
=8={8}
新的平均值 x2\overline{{x}}_{{2}}=4×49={4}\times{49}
=196={196}
新的標準差 σ2\sigma_{{2}}=84={8}\cdot{4}
=32={32}
留意到 100=x23σ2{100}=\overline{{x}}_{{2}}-{3}\sigma_{{2}}260=x2+2σ2{260}=\overline{{x}}_{{2}}+{2}\sigma_{{2}}
∴   所求百份數=2.35%+13.5%+34%+34%+13.5%={2.35}\%+{13.5}\%+{34}\%+{34}\%+{13.5}\%
=97.35%={97.35}\%



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