方差因整組數字加減乘法的轉變

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題目

若五個數字 x20{x}-{20}x19{x}-{19}x16{x}-{16}x+18{x}+{18}x+37{x}+{37} 的方差為 v{v} ,下列何者必為正確?

I.x22{x}-{22}x21{x}-{21}x18{x}-{18}x+16{x}+{16}x+35{x}+{35} 的方差為 v{v}
II.3x62{3}{x}-{62}3x59{3}{x}-{59}3x50{3}{x}-{50}3x+52{3}{x}+{52}3x+109{3}{x}+{109} 的方差為 3v{3}{v}
III.4x20{4}{x}-{20}4x19{4}{x}-{19}4x16{4}{x}-{16}4x+18{4}{x}+{18}4x+37{4}{x}+{37} 的方差為 4v{4}{v}

A
I only
B
III only
C
I and II only
D
I, II and III
題解

觀察兩組數據的關係。
留意到:
1.若每個數據均加上或減去一個常數 k{k},則其方差不變。
2.若每個數據均乘以一個常數 k{k},則其方差為原本的 k2{k}^{{2}} 倍。
I.x22{x}-{22}=(x20)2={\left({x}-{20}\right)}-{2}
x21{x}-{21}=(x19)2={\left({x}-{19}\right)}-{2}
x18{x}-{18}=(x16)2={\left({x}-{16}\right)}-{2}
x+16{x}+{16}=(x+18)2={\left({x}+{18}\right)}-{2}
x+35{x}+{35}=(x+37)2={\left({x}+{37}\right)}-{2}
每個數字都減少了 2{2}
∴  方差保持不變。
I 正確。
II.3x62{3}{x}-{62}=3(x20)2={3}{\left({x}-{20}\right)}-{2}
3x59{3}{x}-{59}=3(x19)2={3}{\left({x}-{19}\right)}-{2}
3x50{3}{x}-{50}=3(x16)2={3}{\left({x}-{16}\right)}-{2}
3x+52{3}{x}+{52}=3(x+18)2={3}{\left({x}+{18}\right)}-{2}
3x+109{3}{x}+{109}=3(x+37)2={3}{\left({x}+{37}\right)}-{2}
每個數字都乘以 3{3},然後減少了 2{2}
∴  新的方差 =(32)v=9v={\left({3}^{{2}}\right)}{v}={9}{v}
II 錯誤。
III.4x20{4}{x}-{20}=(x20)+3x={\left({x}-{20}\right)}+{3}{x}
4x19{4}{x}-{19}=(x19)+3x={\left({x}-{19}\right)}+{3}{x}
4x16{4}{x}-{16}=(x16)+3x={\left({x}-{16}\right)}+{3}{x}
4x+18{4}{x}+{18}=(x+18)+3x={\left({x}+{18}\right)}+{3}{x}
4x+37{4}{x}+{37}=(x+37)+3x={\left({x}+{37}\right)}+{3}{x}
每個數字都增加了 3x{3}{x}
∴  方差保持不變。
III 錯誤。



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