方差因整組數字加減乘法的轉變

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題目

若五個數字 ${x}-{20}$ 、 ${x}-{19}$ 、 ${x}-{16}$ 、 ${x}+{18}$ 及 ${x}+{37}$ 的方差為 ${v}$ ，下列何者必為正確？

I.	${x}-{22}$ 、 ${x}-{21}$ 、 ${x}-{18}$ 、 ${x}+{16}$ 及 ${x}+{35}$ 的方差為 ${v}$ 。
II.	${3}{x}-{62}$ 、 ${3}{x}-{59}$ 、 ${3}{x}-{50}$ 、 ${3}{x}+{52}$ 及 ${3}{x}+{109}$ 的方差為 ${3}{v}$ 。
III.	${4}{x}-{20}$ 、 ${4}{x}-{19}$ 、 ${4}{x}-{16}$ 、 ${4}{x}+{18}$ 及 ${4}{x}+{37}$ 的方差為 ${4}{v}$ 。

I only

III only

I and II only

I, II and III

題解

	觀察兩組數據的關係。
	留意到：
	1.	若每個數據均加上或減去一個常數 ${k}$ ，則其方差不變。
	2.	若每個數據均乘以一個常數 ${k}$ ，則其方差為原本的 ${k}^{{2}}$ 倍。
I.	${x}-{22}$		$={\left({x}-{20}\right)}-{2}$
	${x}-{21}$		$={\left({x}-{19}\right)}-{2}$
	${x}-{18}$		$={\left({x}-{16}\right)}-{2}$
	${x}+{16}$		$={\left({x}+{18}\right)}-{2}$
	${x}+{35}$		$={\left({x}+{37}\right)}-{2}$
	每個數字都減少了 ${2}$ 。
	∴ 方差保持不變。
	I 正確。
II.	${3}{x}-{62}$		$={3}{\left({x}-{20}\right)}-{2}$
	${3}{x}-{59}$		$={3}{\left({x}-{19}\right)}-{2}$
	${3}{x}-{50}$		$={3}{\left({x}-{16}\right)}-{2}$
	${3}{x}+{52}$		$={3}{\left({x}+{18}\right)}-{2}$
	${3}{x}+{109}$		$={3}{\left({x}+{37}\right)}-{2}$
	每個數字都乘以 ${3}$ ，然後減少了 ${2}$ 。
	∴ 新的方差 $={\left({3}^{{2}}\right)}{v}={9}{v}$
	II 錯誤。
III.	${4}{x}-{20}$		$={\left({x}-{20}\right)}+{3}{x}$
	${4}{x}-{19}$		$={\left({x}-{19}\right)}+{3}{x}$
	${4}{x}-{16}$		$={\left({x}-{16}\right)}+{3}{x}$
	${4}{x}+{18}$		$={\left({x}+{18}\right)}+{3}{x}$
	${4}{x}+{37}$		$={\left({x}+{37}\right)}+{3}{x}$
	每個數字都增加了 ${3}{x}$ 。
	∴ 方差保持不變。
	III 錯誤。

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