方位角;餘弦公式;設立二次方程

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題目

圖中,由 B{B} 測得 A{A} 的方位角為 020{020}^{\circ} ,而由 C{C} 測得 A{A} 的方位角為 343{343}^{\circ},且 AC{A}{C}BC{B}{C} 的距離分別為 725{725} km\text{km}805{805} km\text{km} 。求 A{A}B{B} 之間的距離,答案準確至最接近的 0.1{0.1} km\text{km}

B{B}C{C}A{A}N{N}N{N}N{N}805{805} km\text{km}725{725} km\text{km}
A
1255.5{1255.5} km\text{km}
B
1211.8{1211.8} km\text{km}
C
1296.5{1296.5} km\text{km}
D
1158.1{1158.1} km\text{km}
題解

考慮以下圖像。

B{B}C{C}A{A}N{N}N{N}N{N}805{805} km\text{km}725{725} km\text{km}20{20}^{\circ}20{20}^{\circ}17{17}^{\circ}17{17}^{\circ}

BAC\angle{B}{A}{C}=20+17=37={20}^{\circ}+{17}^{\circ}={37}^{\circ}
由餘弦公式,
BC2{B}{C}^{{2}}=AB2+AC22(AB)(AC)cosBAC={A}{B}^{{2}}+{A}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({A}{C}\right)}{\cos}\angle{B}{A}{C}
8052{805}^{{2}}=AB2+72522(AB)(725)cos37={A}{B}^{{2}}+{725}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({725}\right)}{{\cos{{37}}}^{\circ}}
AB2(1450cos37)AB122400{A}{B}^{{2}}-{\left({1450}{\cos{{37}}}^{\circ}\right)}{A}{B}-{122400}=0={0}
AB{A}{B}=1255.512={1255.512}AB=97.49{A}{B}=-{97.49} (捨去)



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