改變數據對量度離差的影響

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題目

設 $\overline{{x}}_{{1}}$ 及 $\sigma_{{1}}$ 分別為某組數 ${\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{19}}\right\rbrace}$ 的平均值及標準差，而 $\overline{{x}}_{{2}}$ 及 $\sigma_{{2}}$ 分別為 ${\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{18}}\right\rbrace}$ 這組數的平均值及標準差。若 $\sigma_{{1}}\ne{0}$ 及 ${a}_{{19}}=\overline{{x}}_{{1}}$ 則下列何者必為正確？

	I.	$\overline{{x}}_{{1}}=\overline{{x}}_{{2}}$
	II.	$\sigma_{{1}}=\sigma_{{2}}$
	III.	第一組數的 ${a}_{{1}}$ 的標準分大於第二組數的 ${a}_{{1}}$ 的標準分。

只有 I 及 III

只有 I 及 II

只有 II 及 III

I、II 及 III

題解

	$\overline{{x}}_{{1}}$		$=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{19}}}}{{19}}$
	${a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{19}}$		$={19}\overline{{x}}_{{1}}$
	${a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{18}}$		$={19}\overline{{x}}_{{1}}-{a}_{{19}}$
			$={18}\overline{{x}}_{{1}}$

	$\overline{{x}}_{{2}}$		$=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{18}}}}{{18}}$
			$=\dfrac{{{18}\overline{{x}}_{{1}}}}{{18}}$
			$=\overline{{x}}_{{1}}$
	∴ $\overline{{x}}_{{1}}$		$=\overline{{x}}_{{2}}$

	$\sigma_{{1}}$		$=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{19}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}$
			$=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left(\overline{{x}}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}$
			$=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{18}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}$
	$\sigma_{{2}}$		$=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{18}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{18}}}}}$
	$\sqrt{{18}}\sigma_{{2}}$		$=\sqrt{{19}}\sigma_{{1}}$
	$\sigma_{{1}}:\sigma_{{2}}$		$=\sqrt{{18}}:\sqrt{{19}}$
	∴ $\sigma_{{1}}$		$<\sigma_{{2}}$

	設 ${z}_{{1}}$ 及 ${z}_{{2}}$ 分別為第一組數的 ${a}_{{1}}$ 的標準分及第二組數的 ${a}_{{1}}$ 的標準分。
	${z}_{{1}}$		$=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{1}}}$
	${z}_{{2}}$		$=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{2}}}}{\sigma_{{2}}}$
			$=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{2}}}$
	$\sigma_{{2}}{z}_{{2}}$		$=\sigma_{{1}}{z}_{{1}}$
	${z}_{{1}}:{z}_{{2}}$		$=\sigma_{{2}}:\sigma_{{1}}$
	∵ $\sigma_{{2}}$		$>\sigma_{{1}}$
	∴ ${z}_{{1}}$		$>{z}_{{2}}$

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