改變數據對量度離差的影響

主題為「改變數據對量度離差的影響」的題目樣本

題目

x1\overline{{x}}_{{1}}σ1\sigma_{{1}} 分別為某組數 {a1,a2,a3,,a19}{\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{19}}\right\rbrace} 的平均值及標準差,而 x2\overline{{x}}_{{2}}σ2\sigma_{{2}} 分別為 {a1,a2,a3,,a18}{\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{18}}\right\rbrace} 這組數的平均值及標準差。若 σ10\sigma_{{1}}\ne{0}a19=x1{a}_{{19}}=\overline{{x}}_{{1}} 則下列何者必為正確?

I.x1=x2\overline{{x}}_{{1}}=\overline{{x}}_{{2}}
II.σ1=σ2\sigma_{{1}}=\sigma_{{2}}
III.第一組數的 a1{a}_{{1}} 的標準分大於第二組數的 a1{a}_{{1}} 的標準分。

A
只有 I 及 III
B
只有 I 及 II
C
只有 II 及 III
D
I、II 及 III
題解

x1\overline{{x}}_{{1}}=a1+a2+a3++a1919=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{19}}}}{{19}}
a1+a2+a3++a19{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{19}}=19x1={19}\overline{{x}}_{{1}}
a1+a2+a3++a18{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{18}}=19x1a19={19}\overline{{x}}_{{1}}-{a}_{{19}}
=18x1={18}\overline{{x}}_{{1}}
x2\overline{{x}}_{{2}}=a1+a2+a3++a1818=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{18}}}}{{18}}
=18x118=\dfrac{{{18}\overline{{x}}_{{1}}}}{{18}}
=x1=\overline{{x}}_{{1}}
∴  x1\overline{{x}}_{{1}}=x2=\overline{{x}}_{{2}}

σ1\sigma_{{1}}=(a1x1)2+(a2x1)2++(a19x1)219=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{19}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}
=(a1x1)2+(a2x1)2++(x1x1)219=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left(\overline{{x}}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}
=(a1x1)2+(a2x1)2++(a18x1)219=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{18}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{19}}}}}
σ2\sigma_{{2}}=(a1x1)2+(a2x1)2++(a18x1)218=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{18}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{18}}}}}
18σ2\sqrt{{18}}\sigma_{{2}}=19σ1=\sqrt{{19}}\sigma_{{1}}
σ1:σ2\sigma_{{1}}:\sigma_{{2}}=18:19=\sqrt{{18}}:\sqrt{{19}}
∴  σ1\sigma_{{1}}<σ2<\sigma_{{2}}

z1{z}_{{1}}z2{z}_{{2}} 分別為第一組數的 a1{a}_{{1}} 的標準分及第二組數的 a1{a}_{{1}} 的標準分。
z1{z}_{{1}}=a1x1σ1=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{1}}}
z2{z}_{{2}}=a1x2σ2=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{2}}}}{\sigma_{{2}}}
=a1x1σ2=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{2}}}
σ2z2\sigma_{{2}}{z}_{{2}}=σ1z1=\sigma_{{1}}{z}_{{1}}
z1:z2{z}_{{1}}:{z}_{{2}}=σ2:σ1=\sigma_{{2}}:\sigma_{{1}}
∵  σ2\sigma_{{2}}>σ1>\sigma_{{1}}
∴  z1{z}_{{1}}>z2>{z}_{{2}}



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