拋物線下的變動點,多項式長除法

主題為「拋物線下的變動點,多項式長除法」的題目樣本

題目

(a)t{t} 的值使得 x4{x}-{4}tx390x2+192x32{t}{x}^{{3}}-{90}{x}^{{2}}+{192}{x}-{32} 的因式。(2 分)
(b)下圖顯示 y=44x2360x+768{y}={44}{x}^{{2}}-{360}{x}+{768} 的圖像。 Z{Z} 為第一象限內圖像上的可變點。 Q{Q}D{D} 分別為由 Z{Z}x{x} 軸及 y{y} 軸的垂足。(5 分)

x{x}y{y}Q{Q}Z{Z}D{D}O{O}y=44x2360x+768{y}={44}{x}^{{2}}-{360}{x}+{768}

(i)(w,0){\left({w},{0}\right)}Q{Q} 的坐標。以 w{w} 表達長方形 OQZD{O}{Q}{Z}{D} 的面積。
(ii)Z{Z} 是否有三個不同的位置使得長方形 OQZD{O}{Q}{Z}{D} 的面積為 128{128} ?試解釋你的答案。

題解

(a)t(4)390(4)2+192(4)32{t}{\left({4}\right)}^{{3}}-{90}{\left({4}\right)}^{{2}}+{192}{\left({4}\right)}-{32}=0={0}1M
64t{64}{t}=704={704}
t{t}=11={11}1A
(bi)長方形 OQZD{O}{Q}{Z}{D} 的面積=w(44w2360w+768)={w}{\left({44}{w}^{{2}}-{360}{w}+{768}\right)}1A
=44w3360w2+768w={44}{w}^{{3}}-{360}{w}^{{2}}+{768}{w}
(bii)留意長方形 OQZD{O}{Q}{Z}{D} 的面積為 128{128} ,可得
44w3360w2+768w{44}{w}^{{3}}-{360}{w}^{{2}}+{768}{w}=128={128}1M
11w390w2+192w32{11}{w}^{{3}}-{90}{w}^{{2}}+{192}{w}-{32}=0={0}
(w4)(11w246w+8){\left({w}-{4}\right)}{\left({11}{w}^{{2}}-{46}{w}+{8}\right)}=0={0}1M
(w4)2(11w2){\left({w}-{4}\right)}^{{2}}{\left({11}{w}-{2}\right)}=0={0}1A
w{w}=4={4}w=211{w}=\dfrac{{2}}{{11}}
故此,Z{Z} 只有兩個(沒有三個)位置使得長方形 OQZD{O}{Q}{Z}{D} 的面積為 128{128}1Af.t.



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