拋物線下的變動點，多項式長除法

主題為「拋物線下的變動點，多項式長除法」的題目樣本

題目

(a)	求 ${t}$ 的值使得 ${x}-{4}$ 為 ${t}{x}^{{3}}-{90}{x}^{{2}}+{192}{x}-{32}$ 的因式。									(2 分)
(b)	下圖顯示 ${y}={44}{x}^{{2}}-{360}{x}+{768}$ 的圖像。 ${Z}$ 為第一象限內圖像上的可變點。 ${Q}$ 及 ${D}$ 分別為由 ${Z}$ 至 ${x}$ 軸及 ${y}$ 軸的垂足。									(5 分)

{x}

{y}

{Q}

{Z}

{D}

{O}

{y}={44}{x}^{{2}}-{360}{x}+{768}

	(i)	設 ${\left({w},{0}\right)}$ 為 ${Q}$ 的坐標。以 ${w}$ 表達長方形 ${O}{Q}{Z}{D}$ 的面積。
	(ii)	${Z}$ 是否有三個不同的位置使得長方形 ${O}{Q}{Z}{D}$ 的面積為 ${128}$ ？試解釋你的答案。

題解

(a)	${t}{\left({4}\right)}^{{3}}-{90}{\left({4}\right)}^{{2}}+{192}{\left({4}\right)}-{32}$	$={0}$	1M
	${64}{t}$	$={704}$
	${t}$	$={11}$	1A
(bi)	長方形 ${O}{Q}{Z}{D}$ 的面積	$={w}{\left({44}{w}^{{2}}-{360}{w}+{768}\right)}$	1A
		$={44}{w}^{{3}}-{360}{w}^{{2}}+{768}{w}$	1A
(bii)	留意長方形 ${O}{Q}{Z}{D}$ 的面積為 ${128}$ ，可得
	${44}{w}^{{3}}-{360}{w}^{{2}}+{768}{w}$	$={128}$	1M
	${11}{w}^{{3}}-{90}{w}^{{2}}+{192}{w}-{32}$	$={0}$
	${\left({w}-{4}\right)}{\left({11}{w}^{{2}}-{46}{w}+{8}\right)}$	$={0}$	1M
	${\left({w}-{4}\right)}^{{2}}{\left({11}{w}-{2}\right)}$	$={0}$	1A
	${w}$	$={4}$ 或 ${w}=\dfrac{{2}}{{11}}$
	故此， ${Z}$ 只有兩個（沒有三個）位置使得長方形 ${O}{Q}{Z}{D}$ 的面積為 ${128}$ 。		1A	f.t.

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