找出直線與圓相交於兩點的中點

主題為「找出直線與圓相交於兩點的中點」的題目樣本

題目

若直線 xy=k{x}-{y}=-{k} 與圓 x2+y26x6y+4=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{6}{x}-{6}{y}+{4}={0} 相交於 A{A}B{B},則 AB{A}{B} 的中點的 x{x} 坐標為

A
k2+3-\dfrac{{k}}{{2}}+{3}
B
k2+3\dfrac{{k}}{{2}}+{3}
C
k+6{k}+{6}
D
k+6-{k}+{6}
題解

y{y}=x+k={x}+{k}(1)\ldots{\left({1}\right)}
x2+y26x6y+4{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{6}{x}-{6}{y}+{4}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
(1){\left({1}\right)}(2):{\left({2}\right)}:
x2+(x+k)26x6(x+k)+4{x}^{{2}}+{\left({x}+{k}\right)}^{{2}}-{6}{x}-{6}{\left({x}+{k}\right)}+{4}=0={0}
x2+x2+2kx+k26x6x6k+4{x}^{{2}}+{x}^{{2}}+{2}{k}{x}+{k}^{{2}}-{6}{x}-{6}{x}-{6}{k}+{4}=0={0}
2x2+(2k12)x+(k26k+4){2}{x}^{{2}}+{\left({2}{k}-{12}\right)}{x}+{\left({k}^{{2}}-{6}{k}+{4}\right)}=0={0}()\ldots{\left(\ast\right)}
AB{A}{B} 的水平距離
=()={\left(\ast\right)} 的根之和
=2k122=-\dfrac{{{2}{k}-{12}}}{{2}}根之和 =b2a=-\dfrac{{b}}{{{2}{a}}}
=k+6=-{k}+{6}
∴  AB{A}{B} 的中點的 x{x} 坐標
=()={\left(\ast\right)} 的根之和的一半
=12(k+6)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(-{k}+{6}\right)}
=k2+3=-\dfrac{{k}}{{2}}+{3}



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