從扇形內部線段長度找出扇形面積

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題目

圖中， ${O}$ 為扇形 ${O}{F}{E}{D}{C}$ 的圓心。 ${F}{C}$ 與 ${O}{D}$ 互相垂直且相交於點 ${B}$ 。 ${A}$ 為 ${F}{C}$ 上的一點使得 ${E}{A}$ 垂直於 ${F}{C}$ 。若 ${F}{A}={141}\text{m}$ 、 ${C}{A}={531}\text{m}$ 及 ${O}{B}={198}\text{m}$ ，則扇形 ${O}{E}{D}$ 的面積為

{F}

{E}

{D}

{C}

{B}

{A}

{O}

{12675}\pi\ \text{ m}^{{2}}

{9408}\pi\ \text{ m}^{{2}}

{18816}\pi\ \text{ m}^{{2}}

{25350}\pi\ \text{ m}^{{2}}

題解

${F}{C}$	$={F}{A}+{C}{A}$
	$={141}+{531}$
	$={672}\text{m}$

留意 ${O}{F}{B}\stackrel{\sim}{=}{O}{C}{B}$		RHS
因此 ${C}{B}={F}{B}=\dfrac{{{F}{C}}}{{2}}={336}\text{m}$
${B}{A}$	$={F}{B}-{F}{A}$
	$={336}-{141}$
	$={195}\text{m}$

在 $\triangle{C}{B}{O}$ ,
${O}{C}^{{2}}={O}{B}^{{2}}+{C}{B}^{{2}}$		Pyth. theorem
${O}{C}$	$=\sqrt{{{198}^{{2}}+{336}^{{2}}}}$
	$={390}\text{m}$

${O}{E}$	$={O}{C}$	radii
${O}{E}$	$={390}\text{m}$

設 ${K}$ 為 ${D}{B}$ 上的一點使得 ${K}{E}//{B}{A}$ 及 ${K}{E}={B}{A}$ ，如圖所示。

{F}

{E}

{D}

{C}

{B}

{A}

{O}

{K}

	在 $\triangle{O}{E}{K}$ ,
	${\sin}\angle{E}{O}{D}$		$=\dfrac{{{E}{K}}}{{{O}{E}}}$
			$=\dfrac{{195}}{{390}}$
	$\angle{E}{O}{D}$		$={30}^{\circ}$

	$\therefore$ 所求面積		$=\pi{O}{E}^{{2}}\times\dfrac{{{30}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}$
			$={12675}\pi\ \text{ m}^{{2}}$

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