從扇形內部線段長度找出扇形面積

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題目

圖中, O{O} 為扇形 OFEDC{O}{F}{E}{D}{C} 的圓心。 FC{F}{C}OD{O}{D} 互相垂直且相交於點 B{B}A{A}FC{F}{C} 上的一點使得 EA{E}{A} 垂直於 FC{F}{C} 。 若 FA=141m{F}{A}={141}\text{m}CA=531m{C}{A}={531}\text{m}OB=198m{O}{B}={198}\text{m} ,則扇形 OED{O}{E}{D} 的面積為

F{F}E{E}D{D}C{C}B{B}A{A}O{O}
A
12675π  m2{12675}\pi\ \text{ m}^{{2}}
B
9408π  m2{9408}\pi\ \text{ m}^{{2}}
C
18816π  m2{18816}\pi\ \text{ m}^{{2}}
D
25350π  m2{25350}\pi\ \text{ m}^{{2}}
題解

FC{F}{C}=FA+CA={F}{A}+{C}{A}
=141+531={141}+{531}
=672m={672}\text{m}
留意 OFB=OCB{O}{F}{B}\stackrel{\sim}{=}{O}{C}{B}RHS
因此 CB=FB=FC2=336m{C}{B}={F}{B}=\dfrac{{{F}{C}}}{{2}}={336}\text{m}
BA{B}{A}=FBFA={F}{B}-{F}{A}
=336141={336}-{141}
=195m={195}\text{m}
CBO\triangle{C}{B}{O},
OC2=OB2+CB2{O}{C}^{{2}}={O}{B}^{{2}}+{C}{B}^{{2}}Pyth. theorem
OC{O}{C}=1982+3362=\sqrt{{{198}^{{2}}+{336}^{{2}}}}
=390m={390}\text{m}
OE{O}{E}=OC={O}{C}radii
OE{O}{E}=390m={390}\text{m}
K{K}DB{D}{B} 上的一點使得 KE//BA{K}{E}//{B}{A}KE=BA{K}{E}={B}{A} ,如圖所示。

F{F}E{E}D{D}C{C}B{B}A{A}O{O}K{K}

OEK\triangle{O}{E}{K},
sinEOD{\sin}\angle{E}{O}{D}=EKOE=\dfrac{{{E}{K}}}{{{O}{E}}}
=195390=\dfrac{{195}}{{390}}
EOD\angle{E}{O}{D}=30={30}^{\circ}
\therefore 所求面積 =πOE2×30360=\pi{O}{E}^{{2}}\times\dfrac{{{30}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}
=12675π  m2={12675}\pi\ \text{ m}^{{2}}



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