從幹葉圖中計算上四分位數、標準分及標準差

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題目

下面的幹葉圖顯示某群學生在一測驗中得分（以分為單位）的分佈。Patricia在該測驗中獲最高得分。

幹（十位）

葉（個位）

{4}

{5}

{6}

{7}

{9}

${5}$	${5}$	${8}$
${1}$	${7}$	${7}$	${8}$
${2}$	${3}$	${4}$	${4}$	${7}$	${7}$
${0}$	${3}$	${3}$	${4}$	${4}$	${9}$
${3}$

	下列何者正確？
I.	該分佈的上四分位數為 ${73}$ 分。
II.	Patricia在該測驗中的標準分低於 ${2.2}$ 。
III.	該分佈的標準差大於 ${14}$ 。

I only

III only

II and III only

I and II only

題解

I.	${\left\lbrace{45},{45},{48},{51},{57},{57},{58},{62},{63},{64},{64},{67},{67},{70},{73},{73},{74},{74},{79},{93}\right\rbrace}$
	將數據組分開兩半，
	中位數 ${\left({Q}_{{2}}\right)}=\dfrac{{{64}+{64}}}{{2}}={64}$	$\dfrac{{\text{第}{10}\text{項數據}+\text{第}{11}\text{項數據}}}{{2}}$
	再將數據的上半部分及下半部分分開兩半，
	下四分位數 ${\left({Q}_{{1}}\right)}=\dfrac{{{57}+{57}}}{{2}}={57}$	$\dfrac{{\text{第}{5}\text{項數據}+\text{第}{6}\text{項數據}}}{{2}}$
	上四分位數 ${\left({Q}_{{3}}\right)}=\dfrac{{{73}+{73}}}{{2}}={73}$	$\dfrac{{\text{第}{15}\text{項數據}+\text{第}{16}\text{項數據}}}{{2}}$
	I 正確。

II.	利用計算機的基數模式 (base mode)，先計算出平均數及標準差。
	平均數 ${\left(\mu\right)}={64.2}$
	標準差 ${\left(\sigma\right)}={11.76265276202609}\approx{11.763}$
	∴ Patricia的標準分 $=\dfrac{{{93}-{64.2}}}{{11.763}}\approx{2.448}$	標準分 $=\dfrac{{{x}-\mu}}{\sigma}$
	II 錯誤。

III.	標準差 ${\left(\sigma\right)}\approx{11.763}$
	III 錯誤。

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