從已知三點的三角形中求出其中一隻角

主題為「從已知三點的三角形中求出其中一隻角」的題目樣本

題目

$\triangle{A}{B}{C}$ 的頂點為 ${A}{\left({8},{4}\right)}$ 、 ${B}{\left({1},{0}\right)}$ 及 ${C}{\left({14},-{5}\right)}$ 。求 $\angle{A}{B}{C}$ ，準確至最接近的度。

{51}^{\circ}

{54}^{\circ}

{76}^{\circ}

{43}^{\circ}

題解

{x}

{y}

{A}{\left({8},{4}\right)}

{B}{\left({1},{0}\right)}

{C}{\left({14},-{5}\right)}

\alpha

\beta

考慮直線 ${B}{A}$ 及 ${B}{C}$ 的斜度。
設 $\alpha$ 及 $\beta$ 分別為直線 ${B}{A}$ 與 ${B}{C}$ 與正 ${x}$ 軸形成的銳角。
${\tan{\alpha}}$	$=\dfrac{{{4}-{0}}}{{{8}-{1}}}=\dfrac{{4}}{{7}}$
$\alpha$	$\approx{29.74488}^{\circ}$
${\tan{{\left(-\beta\right)}}}$	$=\dfrac{{-{5}-{0}}}{{{14}-{1}}}=-\dfrac{{5}}{{13}}$	或直接考慮直角三角形的邊長： ${\tan{\beta}}=\dfrac{{5}}{{13}}$
$-\beta$	$\approx-{21.03751}^{\circ}$
$\beta$	$={21.03751}^{\circ}$
$\angle{A}{B}{C}$	$={29.74488}^{\circ}+{21.03751}^{\circ}$
	$={50.78239}^{\circ}$
	$={51}^{\circ}$ (準確至最接近的度)

解題捷徑

	${A}{B}$		$=\sqrt{{{\left({8}-{1}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{0}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{65}}}$
	${B}{C}$		$=\sqrt{{{\left({1}-{14}\right)}^{{2}}+{\left({0}+{5}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{194}}}$
	${A}{C}$		$=\sqrt{{{\left({8}-{14}\right)}^{{2}}+{\left({4}+{5}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{117}}}$
	${\cos}\angle{A}{B}{C}$		$=\dfrac{{{\left({A}{B}\right)}^{{2}}+{\left({B}{C}\right)}^{{2}}-{\left({A}{C}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}}}$
			$=\dfrac{{{65}+{194}-{117}}}{{{2}{\left(\sqrt{{{65}}}\right)}{\left(\sqrt{{{194}}}\right)}}}$
	$\angle{A}{B}{C}$		$={51}^{\circ}$ (準確至最接近的度)

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