已知兩圓相交且大圓的直徑為細圓的切線以求一細圓的圓周角

主題為「已知兩圓相交且大圓的直徑為細圓的切線以求一細圓的圓周角」的題目樣本

題目

圖中, PQ{P}{Q} 為圓 ABC{A}{B}{C}O{O} 的切線,其中 O{O} 為半圓 PBQ{P}{B}{Q} 的圓心。已知 BCP{B}{C}{P} 為一直線。若 BPQ=10\angle{B}{P}{Q}={10}^{\circ} ,則 BAC=\angle{B}{A}{C}=

A{A}O{O}P{P}Q{Q}B{B}C{C}
A
30{30}^{\circ}
B
15{15}^{\circ}
C
20{20}^{\circ}
D
35{35}^{\circ}
題解

方法 1{1}透過考慮圓內接四邊形
連接 OC{O}{C}OB{O}{B}
∵  OP{O}{P}=OB={O}{B}radii
∴  OBP\angle{O}{B}{P}=10={10}^{\circ}base ∠s, isos. △
BOQ\angle{B}{O}{Q}=10+10=20={10}^{\circ}+{10}^{\circ}={20}^{\circ}ext. ∠ of △
OCB\angle{O}{C}{B}=20={20}^{\circ}∠ in alt. segment
考慮 COB\triangle{C}{O}{B}
COB\angle{C}{O}{B}=1802010=150={180}^{\circ}-{20}^{\circ}-{10}^{\circ}={150}^{\circ}∠ sum of △
∴  BAC\angle{B}{A}{C}=180150=30={180}^{\circ}-{150}={30}^{\circ}opp. ∠s, cyclic quad.

A{A}O{O}P{P}Q{Q}B{B}C{C}30{30}^{\circ}10{10}^{\circ}10{10}^{\circ}20{20}^{\circ}20{20}^{\circ}150{150}^{\circ}

方法 2{2}透過考慮同弓形內的圓周角
連接 OC{O}{C}OB{O}{B}AO{A}{O}
∵  OP{O}{P}=OB={O}{B}radii
∴  OBP\angle{O}{B}{P}=10={10}^{\circ}base ∠s, isos. △
BOQ\angle{B}{O}{Q}=10+10=20={10}^{\circ}+{10}^{\circ}={20}^{\circ}ext. ∠ of △
OCB\angle{O}{C}{B}=20={20}^{\circ}∠ in alt. segment
CAO\angle{C}{A}{O}=OBP=10=\angle{O}{B}{P}={10}^{\circ}∠s in the same segment
OAB\angle{O}{A}{B}=OCB=20=\angle{O}{C}{B}={20}^{\circ}∠s in the same segment
∴  BAC\angle{B}{A}{C}=CAO+OAB=\angle{C}{A}{O}+\angle{O}{A}{B}
=10+20={10}^{\circ}+{20}^{\circ}
=30={30}^{\circ}

A{A}O{O}P{P}Q{Q}B{B}C{C}10{10}^{\circ}10{10}^{\circ}20{20}^{\circ}20{20}^{\circ}10{10}^{\circ}20{20}^{\circ}


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《傲慢與偏見》