已知三角形的底為圓的切線形以求圓的半徑

主題為「已知三角形的底為圓的切線形以求圓的半徑」的題目樣本

題目

圖中， ${A}$ 、 ${B}$ 及 ${C}$ 均為圓上的點。 ${T}{A}$ 為該圓在 ${A}$ 的切線。直線 ${C}{B}{T}$ 垂直於 ${T}{A}$ 。若 ${B}{C}={11}$ $\text{cm}$ ，求該圓的半徑準確最至接近的 ${0.1}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{C}

{T}

{B}

{22}^{\circ}

{7.6}

\text{cm}

{7.9}

\text{cm}

{8.2}

\text{cm}

{11.9}

\text{cm}

題解

方法 ${1}$ ：	透過建立一直徑
	連接 ${A}{B}$ 。
	$\angle{B}{A}{T}$	$={22}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	考慮 $\triangle{T}{A}{C}$ ，
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\angle{B}{A}{C}$	$={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}$
	設 ${D}$ 為在圓上的一點使得 ${C}{D}$ 為圓的直徑，並設直徑長度為 ${2}{r}$ 。
	$\angle{B}{D}{C}$	$={46}^{\circ}$	∠s in the same segment
	$\angle{C}{B}{D}$	$={90}^{\circ}$	∠ in semi-circle
	考慮 $\triangle{B}{C}{D}$ ，
	$\dfrac{{{2}{r}}}{{{\sin{{90}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}$	正弦公式
	${r}$	$=\dfrac{{11}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}$
		$={7.645899750591733}$
		$={7.6}$ $\text{cm }\$ （準確至最接近的 ${0.1}$ $\text{cm}$ ）
	∴ 該圓的半徑為 ${7.6}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{C}

{T}

{B}

{22}^{\circ}

{O}

{D}

{22}^{\circ}

{46}^{\circ}

{46}^{\circ}

{r}

{r}

Method

{1}

方法 ${2}$ ：	透過平分弦 ${A}{C}$
	連接 ${A}{B}$ 。
	$\angle{B}{A}{T}$	$={22}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	考慮 $\triangle{T}{A}{C}$ ，
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}$	∠ sum of △
	考慮 $\triangle{A}{B}{C}$ ，
	$\angle{B}{A}{C}$	$={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{C}$	$={180}^{\circ}-{22}^{\circ}-{46}^{\circ}={112}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{112}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}$	正弦公式
	${A}{C}$	$=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$
	設 ${O}$ 為圓的圓心。設 ${r}$ 為圓的半徑。
	設 ${M}$ 為在弦 ${A}{C}$ 上的一點使得 ${O}{M}\bot{A}{C}$ 。連接 ${O}{M}$ 。
	${A}{M}$	$=\dfrac{{{A}{C}}}{{2}}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}$	line from centre ⊥ chord bisects chord
	$\angle{O}{A}{C}$	$={22}^{\circ}$	alt. ∠s
	考慮 $\triangle{O}{A}{M}$ ，
	${{\cos{{22}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}}}{{r}}$
	${r}$	$=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}\cdot\dfrac{{1}}{{{\cos{{22}}}^{\circ}}}$
		$={7.645899750591733}$
		$={7.6}$ $\text{cm }\$ （準確至最接近的 ${0.1}$ $\text{cm}$ ）
	∴ 該圓的半徑為 ${7.6}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{C}

{T}

{B}

{22}^{\circ}

{O}

{22}^{\circ}

{r}

{112}^{\circ}

{46}^{\circ}

{11}

{M}

{22}^{\circ}

\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}

Method

{2}

Method ${3}$ :	透過使用餘弦公式
	連接 ${A}{B}$ 。
	$\angle{B}{A}{T}$	$={22}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	考慮 $\triangle{T}{A}{C}$ ,
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}$	∠ sum of △
	考慮 $\triangle{A}{B}{C}$ ,
	$\angle{B}{A}{C}$	$={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{C}$	$={180}^{\circ}-{22}^{\circ}-{46}^{\circ}={112}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{112}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}$	正弦公式
	${A}{C}$	$=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$
	設 ${O}$ 為圓的圓心。設 ${r}$ 為圓的半徑。
	連接 ${O}{A}$ 及 ${O}{C}$ 。
	反角 $\angle{A}{O}{C}$	$={2}{\left({112}^{\circ}\right)}={224}^{\circ}$	∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
	$\angle{A}{O}{C}$	$={360}^{\circ}-{224}^{\circ}={136}^{\circ}$	∠s at a pt.
	考慮 $\triangle{O}{A}{C}$ ，
	${r}^{{2}}+{r}^{{2}}-{2}{\left({r}\right)}{\left({r}\right)}{\left({\cos{{136}}}^{\circ}\right)}$	$={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$	餘弦公式
	${2}{r}^{{2}}-{2}{r}^{{2}}{{\cos{{136}}}^{\circ}}$	$={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$
	${r}^{{2}}{\left({2}-{2}{\cos{{136}}}^{\circ}\right)}$	$={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$
	${r}$	$=\sqrt{{\dfrac{{{\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}-{2}{\cos{{136}}}^{\circ}}}}}$
		$={7.645899750591733}$
		$={7.6}$ $\text{cm }\$ （準確至最接近的 ${0.1}$ $\text{cm}$ ）
	∴ 該圓的半徑為 ${7.6}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{C}

{T}

{B}

{22}^{\circ}

{O}

{22}^{\circ}

{r}

{r}

{112}^{\circ}

{46}^{\circ}

{11}

{224}^{\circ}

{136}^{\circ}

Method

{3}

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