已知三角形的底為圓的切線形以求圓的半徑

主題為「已知三角形的底為圓的切線形以求圓的半徑」的題目樣本

題目

圖中, A{A}B{B}C{C} 均為圓上的點。 TA{T}{A} 為該圓在 A{A} 的切線。直線 CBT{C}{B}{T} 垂直於 TA{T}{A}。若 BC=11{B}{C}={11} cm\text{cm},求該圓的半徑準確最至接近的 0.1{0.1} cm\text{cm}

A{A}C{C}T{T}B{B}22{22}^{\circ}
A
7.6{7.6} cm\text{cm}
B
7.9{7.9} cm\text{cm}
C
8.2{8.2} cm\text{cm}
D
11.9{11.9} cm\text{cm}
題解

方法 1{1}透過建立一直徑
連接 AB{A}{B}
BAT\angle{B}{A}{T}=22={22}^{\circ}∠ in alt. segment
考慮 TAC\triangle{T}{A}{C}
CAT\angle{C}{A}{T}=1809022=68={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}∠ sum of △
BAC\angle{B}{A}{C}=6822=46={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}
D{D} 為在圓上的一點使得 CD{C}{D} 為圓的直徑,並設直徑長度為 2r{2}{r}
BDC\angle{B}{D}{C}=46={46}^{\circ}∠s in the same segment
CBD\angle{C}{B}{D}=90={90}^{\circ}∠ in semi-circle
考慮 BCD\triangle{B}{C}{D}
2rsin90\dfrac{{{2}{r}}}{{{\sin{{90}}}^{\circ}}}=11sin46=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}正弦公式
r{r}=112sin46=\dfrac{{11}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}
=7.645899750591733={7.645899750591733}
=7.6={7.6} cm  \text{cm }\ (準確至最接近的 0.1{0.1} cm\text{cm}
∴   該圓的半徑為 7.6{7.6} cm\text{cm}

A{A}C{C}T{T}B{B}22{22}^{\circ}O{O}D{D}22{22}^{\circ}46{46}^{\circ}46{46}^{\circ}r{r}r{r}Method 1{1}

方法 2{2}透過平分弦 AC{A}{C}
連接 AB{A}{B}
BAT\angle{B}{A}{T}=22={22}^{\circ}∠ in alt. segment
考慮 TAC\triangle{T}{A}{C}
CAT\angle{C}{A}{T}=1809022=68={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}∠ sum of △
考慮 ABC\triangle{A}{B}{C}
BAC\angle{B}{A}{C}=6822=46={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}
ABC\angle{A}{B}{C}=1802246=112={180}^{\circ}-{22}^{\circ}-{46}^{\circ}={112}^{\circ}∠ sum of △
ACsin112\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{112}}}^{\circ}}}=11sin46=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}正弦公式
AC{A}{C}=11sin112sin46=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}} cm\text{cm}
O{O} 為圓的圓心。設 r{r} 為圓的半徑。
M{M} 為在弦 AC{A}{C} 上的一點使得 OMAC{O}{M}\bot{A}{C} 。連接 OM{O}{M}
AM{A}{M}=AC2=12(11sin112sin46)=11sin1122sin46=\dfrac{{{A}{C}}}{{2}}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}line from centre ⊥ chord bisects chord
OAC\angle{O}{A}{C}=22={22}^{\circ}alt. ∠s
考慮 OAM\triangle{O}{A}{M}
cos22{{\cos{{22}}}^{\circ}}=11sin1122sin46r=\dfrac{{\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}}}{{r}}
r{r}=11sin1122sin461cos22=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}\cdot\dfrac{{1}}{{{\cos{{22}}}^{\circ}}}
=7.645899750591733={7.645899750591733}
=7.6={7.6} cm  \text{cm }\ (準確至最接近的 0.1{0.1} cm\text{cm}
∴   該圓的半徑為 7.6{7.6} cm\text{cm}

A{A}C{C}T{T}B{B}22{22}^{\circ}O{O}22{22}^{\circ}r{r}112{112}^{\circ}46{46}^{\circ}11{11} cmM{M}22{22}^{\circ}11sin1122sin46\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{46}}}^{\circ}}}cmMethod 2{2}

Method 3{3}:透過使用餘弦公式
連接 AB{A}{B}
BAT\angle{B}{A}{T}=22={22}^{\circ}∠ in alt. segment
考慮 TAC\triangle{T}{A}{C} ,
CAT\angle{C}{A}{T}=1809022=68={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{22}^{\circ}={68}^{\circ}∠ sum of △
考慮 ABC\triangle{A}{B}{C} ,
BAC\angle{B}{A}{C}=6822=46={68}^{\circ}-{22}^{\circ}={46}^{\circ}
ABC\angle{A}{B}{C}=1802246=112={180}^{\circ}-{22}^{\circ}-{46}^{\circ}={112}^{\circ}∠ sum of △
ACsin112\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{112}}}^{\circ}}}=11sin46=\dfrac{{11}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}正弦公式
AC{A}{C}=11sin112sin46=\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}} cm\text{cm}
O{O} 為圓的圓心。設 r{r} 為圓的半徑。
連接 OA{O}{A}OC{O}{C}
反角 AOC\angle{A}{O}{C}=2(112)=224={2}{\left({112}^{\circ}\right)}={224}^{\circ}∠ at centre twice ∠ at ⊙ce
AOC\angle{A}{O}{C}=360224=136={360}^{\circ}-{224}^{\circ}={136}^{\circ}∠s at a pt.
考慮 OAC\triangle{O}{A}{C}
r2+r22(r)(r)(cos136){r}^{{2}}+{r}^{{2}}-{2}{\left({r}\right)}{\left({r}\right)}{\left({\cos{{136}}}^{\circ}\right)}=(11sin112sin46)2={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}餘弦公式
2r22r2cos136{2}{r}^{{2}}-{2}{r}^{{2}}{{\cos{{136}}}^{\circ}}=(11sin112sin46)2={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}
r2(22cos136){r}^{{2}}{\left({2}-{2}{\cos{{136}}}^{\circ}\right)}=(11sin112sin46)2={\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}
r{r}=(11sin112sin46)222cos136=\sqrt{{\dfrac{{{\left(\dfrac{{{11}{\sin{{112}}}^{\circ}}}{{{\sin{{46}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}-{2}{\cos{{136}}}^{\circ}}}}}
=7.645899750591733={7.645899750591733}
=7.6={7.6} cm  \text{cm }\ (準確至最接近的 0.1{0.1} cm\text{cm}
∴   該圓的半徑為 7.6{7.6} cm\text{cm}

A{A}C{C}T{T}B{B}22{22}^{\circ}O{O}22{22}^{\circ}r{r}r{r}112{112}^{\circ}46{46}^{\circ}11{11} cm224{224}^{\circ}136{136}^{\circ}Method 3{3}


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