已知一等比數列的第三項及第七項以求其公比及一些項之和

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題目

設 an{a}_{{n}} 為一等比數列的第 n{n} 項。若 a3=33{a}_{{3}}={33} 及 a7=297{a}_{{7}}={297} ，則下列何者必為正確？

I.該數列的公比在 −2-{2} 與 2{2} 之間。
II.該數列的所有項為有理數。
III.該數列的首 99{99} 項之和大於 1024{10}^{{24}}。

A
I and III only
B
III only
C
I and II only
D
II and III only
題解

I.設 r{r} 為該等比數列的公差。
a3×r4{a}_{{3}}\times{r}^{{4}}=a7={a}_{{7}}
33×r4{33}\times{r}^{{4}}=297={297}
r4{r}^{{4}}=9={9}
r2{r}^{{2}}=3={3} 或 r2=−3{r}^{{2}}=-{3}(捨去)
r{r}=±3=\pm\sqrt{{{3}}}
即 r=3≈1.732{r}=\sqrt{{{3}}}\approx{1.732} 或 r=−3≈−1.732{r}=-\sqrt{{{3}}}\approx-{1.732}
I 正確。
II.
當 r=3{r}=\sqrt{{{3}}}，
a4=a3×3=333{a}_{{4}}={a}_{{3}}\times\sqrt{{{3}}}={33}\sqrt{{{3}}}為無理數
當 r=−3{r}=-\sqrt{{{3}}}，
a4=a3×−3=−333{a}_{{4}}={a}_{{3}}\times-\sqrt{{{3}}}=-{33}\sqrt{{{3}}}為無理數
同樣地，數列中的雙數項是無理數，即 a2,a4,a6,…{a}_{{2}},{a}_{{4}},{a}_{{6}},\ldots 均為無理數，但單數項則為有理數。
I 錯誤。
III.
首先計算數列的首項 (a1){\left({a}_{{1}}\right)} ，
a1×r2{a}_{{1}}\times{r}^{{2}}=a3={a}_{{3}}
a1×3{a}_{{1}}\times{3}=33={33}
a1{a}_{{1}}=11={11}
考慮公比為負數時的情況，即當 r{r}=−3=-\sqrt{{3}}時，
S(99){S}{\left({99}\right)}
=11(1−(−3)99)1−(−3)=\dfrac{{{11}{\left({1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}\right)}}}{{{1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}}}S(n)=a(1−rn)1−r{S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({1}-{r}^{{n}}\right)}}}{{{1}-{r}}}
=11(1+3992)1+3=\dfrac{{{11}{\left({1}+{3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}}}{{{1}+\sqrt{{3}}}}1−(−3)99=1−(−312)99=1−(−(3992))=1+(3992){1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{3}^{{\tfrac{{1}}{{2}}}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}\right)}={1}+{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}
=1.6688066518599898×1024={1.6688066518599898}\times{10}^{{24}}
>1024\gt{10}^{{24}}
∴   首 99{99} 項之和大於 1024{10}^{{24}}
III 正確。
供參考，當 r=3{r}=\sqrt{{3}} 時，陳述亦正確。
S(99){S}{\left({99}\right)}
=11(399−1)(3)−1=\dfrac{{{11}{\left(\sqrt{{3}}^{{99}}-{1}\right)}}}{{{\left(\sqrt{{3}}\right)}-{1}}}
=6.22807121275039×1024={6.22807121275039}\times{10}^{{24}}
>1024\gt{10}^{{24}}


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