已知一直徑兩端點以求圓的方程

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題目

C{C} 通過點 A(4,1){A}{\left({4},{1}\right)}B(2,5){B}{\left(-{2},{5}\right)}。若 AB{A}{B}C{C} 的一直徑,則 C{C} 的方程為

A
x2+y22x6y3=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{x}-{6}{y}-{3}={0}
B
x2+y22x6y42=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{x}-{6}{y}-{42}={0}
C
x2+y2+2x+6y3=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{2}{x}+{6}{y}-{3}={0}
D
x2+y2+2x+6y42=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{2}{x}+{6}{y}-{42}={0}
題解

C{C} 的圓心為 O{O}
O{O}AB{A}{B} 的中點。AB{A}{B}C{C} 的直徑
∴  O=(422,1+52)=(1,3){O}={\left(\dfrac{{{4}-{2}}}{{2}},\dfrac{{{1}+{5}}}{{2}}\right)}={\left({1},{3}\right)}
∴  r=OA=(14)2+(31)2=13{r}={O}{A}=\sqrt{{{\left({1}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({3}-{1}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{13}}}r=OB=12AB{r}={O}{B}=\dfrac{{1}}{{2}}{A}{B}
C{C} 的方程為
(x1)2+(y3)2{\left({x}-{1}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{3}\right)}^{{2}}=(13)2={\left(\sqrt{{{13}}}\right)}^{{2}}(xh)2+(yk)2=r2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{k}\right)}^{{2}}={r}^{{2}}
x22x+1+y26y+9{x}^{{2}}-{2}{x}+{1}+{y}^{{2}}-{6}{y}+{9}=13={13}
x2+y22x6y3{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{x}-{6}{y}-{3}=0={0}



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