已知一圓的方程以判辨一點是否位於圓內及另一角的大小

主題為「已知一圓的方程以判辨一點是否位於圓內及另一角的大小」的題目樣本

題目

圓 ${C}$ 的方程為 ${4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}={0}$ 。點 ${P}$ 及點 ${Q}$ 的坐標分別為 ${\left(-{2},{8}\right)}$ 及 ${\left({4},{4}\right)}$ 。下列何者正確？

I.	${C}$ 的半徑為 ${9}$ 。
II.	${P}{Q}$ 的中點位於 ${C}$ 內。
III.	設 ${G}$ 為 ${C}$ 的圓心，則 $\angle{P}{G}{Q}$ 為一銳角。

III only

II only

I and III only

II and III only

題解

I.	${4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}$	$={0}$
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{x}-{4}{y}-\dfrac{{13}}{{4}}$	$={0}$
	${C}$ 的圓心	$={\left(\dfrac{{-{1}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-{4}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}$
	${C}$ 的半徑	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({2}\right)}^{{2}}-{\left(-\dfrac{{13}}{{4}}\right)}}}=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}$
	I 錯誤。
II.	設 ${M}$ 為 ${P}{Q}$ 的中點。
	${M}$	$={\left(\dfrac{{-{2}+{4}}}{{2}},\dfrac{{{8}+{4}}}{{2}}\right)}={\left({1},{6}\right)}$
	設 ${G}$ 為 ${C}$ 的圓心。 ${G}$	$={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}$ 。
	比較 ${G}{M}$ 與半徑的長度以判辨 ${M}$ 位於 ${C}$ 以內或以外。
	${G}{M}$	$=\sqrt{{{\left({1}-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({6}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\approx{4.031}$
	半徑	$=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}\approx{2.739}$
	∴ ${M}$ 位於 ${C}$ 以外。
	II 錯誤。
III.	${P}{Q}$	$=\sqrt{{{\left(-{2}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{4}\right)}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{13}}}$
	${P}{G}$	$=\sqrt{{{\left(-{2}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{13}}{{2}}$
	${Q}{G}$	$=\sqrt{{{\left({4}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}$
	${\cos}\angle{P}{G}{Q}$	$=\dfrac{{{\left({P}{G}\right)}^{{2}}+{\left({Q}{G}\right)}^{{2}}-{\left({P}{Q}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{P}{G}\cdot{Q}{G}}}=\dfrac{{{\left(\dfrac{{13}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{13}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot\dfrac{{13}}{{2}}\cdot\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}}}\approx{0.124}$
	$\angle{P}{G}{Q}$	$\approx{82.9}^{\circ}$
	∴ $\angle{P}{G}{Q}$ 為一銳角。
	III 正確。

專業備試計劃

Premium DSE Preparation Plan

專攻 DSE 數學科，助你高效穩固地提昇評級

Level 4+ 保證及 5** 獎賞

僅中四至中六適用

最優化操練路線

一站滿足所有操數需要

豐富全面溫習套裝及備試工具

首 14 日無條件全額退款

想了解更多有關 ePractice？按這裡下載小冊子！

核心服務 Core Service

無限量「極效練習」、「集中式練習」

查看所有模擬試卷（卷一）題目，包括歷屆試題

無限次進行網上模擬試卷（卷二）

查看所有溫習資源

詳細能力分析及等級預測

專人跟進 Follow-up Service

ePractice 會以電郵、Whatsapp 及電話提醒練習

您可以隨時電郵或 Whatsapp 查詢平台疑難及數學問題，不限次數

ePractice 會定期提供溫習建議

保證 Guarantee

Level 5** 獎勵：會員如在 DSE 取得數學 Level 5** ，將獲贈一套飛往英國、美國或者加拿大的來回機票，唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

Level 4 以下賠償：會員如在 DSE 未能達到數學 Level 4 ，我們將會全額退回所有會費，唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

會藉啟動後 14 日內，可以無條件退款（私人補習費除外）。

贈品 Gift

模擬試卷（八份）：建議於 DSE 前四個月內每兩星期做一份。將於考試四個月前寄給閣下，無需額外運費（限於香港境內）

必背公式表：A4 雙面公式表，印有中一至中六最關鍵的數學知識，對溫習非常有幫助。將於考試四個月前與模擬試卷一同寄給閣下。

平台遊戲贈禮：會藉啟動時，可獲練習平台上 500,000 金幣及 5,000 鑽石！

FAQ

有英文版嗎？

有。請在畫面頂部按「用戶」，再按「設定」。在語言選項中，你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」，兩者皆有中英文版。

ePractice 是甚麼？

ePractice 是一個專為中四至中六而設的網站應用程式，旨為協助學生高效地預備 DSE 數學（必修部分）考試。由於 ePractice 是網站應用程式，因此無論使用任何裝置、平台，都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

ePractice 可以取代傳統補習嗎？

雖然 ePractice 不能百份之一百取代傳統補習（包括補習班及私人補習），但可以絕大程度上取代補習服務，因為 ePractice 除了能為你度身訂造練習順序外，更設有短片真人教學，費用還遠低於傳統補習！

為甚麼適合中四至中六學生？

由於正式考試（DSE 數學必修部分）有三分之二（約 67%）的內容是初中程度，因此中四學生已經可以操練大部分的試題。早些開始操練，不但可以早一步掌握考試技巧，更可同時鞏固初中的知識，幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題，非常輕鬆，也不需花大量時間，已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。

有甚麼付款方式？

閣下可使用 PayPal / 信用卡 / Wechat Pay / AlipayHK / 銀行存款機（毋須任何戶口，只需現金）/ 銀行櫃位入帳（毋須任何戶口，只需現金）/ 轉帳（需要銀行戶口）/ PayMe / Faster Payment System (FPS) 付款。在確定訂單及揀選付款方式後，會有進一步的流程解說。

可以退款嗎？

除了下列特殊情況外，在 ePractice 選購任何會員服務，均享 14 天無條件退款保證。閣下只須向我們聯絡並提供相關訂單編號即可。如果您使用 PayPal 付款，我們會把款項退回您的信用卡。如果您使用其他付款方式，則請提供您的銀行帳號 / FPS ID / PayMe ID，讓我們把退款轉帳給您。
只有以下兩種特殊情況下退款是不允許的：

會員服務期少於兩個月；或
交易額少於 HK$100。

甚麼時候會啟動會員服務？

如果您使用 PayPal 成功交易，您的會員服務會立即啟動；而使用轉帳、存款機或銀行入帳付款，則須先把收據發送給我們，我們會在兩個工作天（星期一至五）內核對並啟動您的會員服務。

甚麼時候會收到貨品？

我們會於售後聯絡閣下商討安排，包括送貨地址、聯絡人名稱等等，確定送貨資料後，我們立即寄出郵件，一般會於七個工作天（通常更短）內送達。請留意，如果閣下未設定電郵或電話號碼，則我們只能在平台上聯絡你。

我不想透露私人地址，可以選擇其他收貨地址嗎？

可以。您可以選擇指定便利店、順豐站、智能櫃或油站取件，請按這裡前往有效的地址清單，預先選定方便您的位置取件。

如需要幫助，請隨時透過 Whatsapp 聯絡我們（+852 5516 3953）。

Initiating...

已知一圓的方程以判辨一點是否位於圓內及另一角的大小

See Also

專業備試計劃

FAQ