已知一圓的方程以判辨一點是否位於圓內及另一角的大小

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題目

圓 ${C}$ 的方程為 ${4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}={0}$ 。點 ${P}$ 及點 ${Q}$ 的坐標分別為 ${\left(-{2},{8}\right)}$ 及 ${\left({4},{4}\right)}$ 。下列何者正確？

I.	${C}$ 的半徑為 ${9}$ 。
II.	${P}{Q}$ 的中點位於 ${C}$ 內。
III.	設 ${G}$ 為 ${C}$ 的圓心，則 $\angle{P}{G}{Q}$ 為一銳角。

III only

II only

I and III only

II and III only

題解

I.	${4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}$	$={0}$
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{x}-{4}{y}-\dfrac{{13}}{{4}}$	$={0}$
	${C}$ 的圓心	$={\left(\dfrac{{-{1}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-{4}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}$
	${C}$ 的半徑	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({2}\right)}^{{2}}-{\left(-\dfrac{{13}}{{4}}\right)}}}=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}$
	I 錯誤。
II.	設 ${M}$ 為 ${P}{Q}$ 的中點。
	${M}$	$={\left(\dfrac{{-{2}+{4}}}{{2}},\dfrac{{{8}+{4}}}{{2}}\right)}={\left({1},{6}\right)}$
	設 ${G}$ 為 ${C}$ 的圓心。 ${G}$	$={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}$ 。
	比較 ${G}{M}$ 與半徑的長度以判辨 ${M}$ 位於 ${C}$ 以內或以外。
	${G}{M}$	$=\sqrt{{{\left({1}-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({6}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\approx{4.031}$
	半徑	$=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}\approx{2.739}$
	∴ ${M}$ 位於 ${C}$ 以外。
	II 錯誤。
III.	${P}{Q}$	$=\sqrt{{{\left(-{2}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{4}\right)}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{13}}}$
	${P}{G}$	$=\sqrt{{{\left(-{2}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{13}}{{2}}$
	${Q}{G}$	$=\sqrt{{{\left({4}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}$
	${\cos}\angle{P}{G}{Q}$	$=\dfrac{{{\left({P}{G}\right)}^{{2}}+{\left({Q}{G}\right)}^{{2}}-{\left({P}{Q}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{P}{G}\cdot{Q}{G}}}=\dfrac{{{\left(\dfrac{{13}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{13}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot\dfrac{{13}}{{2}}\cdot\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}}}\approx{0.124}$
	$\angle{P}{G}{Q}$	$\approx{82.9}^{\circ}$
	∴ $\angle{P}{G}{Q}$ 為一銳角。
	III 正確。

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