已知一圓的方程以判辨一點是否位於圓內及另一角的大小

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題目

C{C} 的方程為 4x2+4y24x16y13=0{4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}={0} 。點 P{P} 及點 Q{Q} 的坐標分別為 (2,8){\left(-{2},{8}\right)}(4,4){\left({4},{4}\right)} 。下列何者正確?

I.C{C} 的半徑為 9{9}
II.PQ{P}{Q} 的中點位於 C{C} 內。
III.G{G}C{C} 的圓心,則 PGQ\angle{P}{G}{Q} 為一銳角。

A
III only
B
II only
C
I and III only
D
II and III only
題解

I.4x2+4y24x16y13{4}{x}^{{2}}+{4}{y}^{{2}}-{4}{x}-{16}{y}-{13}=0={0}
x2+y2x4y134{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{x}-{4}{y}-\dfrac{{13}}{{4}}=0={0}
C{C} 的圓心 =(12,42)=(12,2)={\left(\dfrac{{-{1}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-{4}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}
C{C} 的半徑 =(12)2+(2)2(134)=302=\sqrt{{{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({2}\right)}^{{2}}-{\left(-\dfrac{{13}}{{4}}\right)}}}=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}
I 錯誤。
II.M{M}PQ{P}{Q} 的中點。
M{M}=(2+42,8+42)=(1,6)={\left(\dfrac{{-{2}+{4}}}{{2}},\dfrac{{{8}+{4}}}{{2}}\right)}={\left({1},{6}\right)}
G{G}C{C} 的圓心。 G{G}=(12,2)={\left(\dfrac{{1}}{{2}},{2}\right)}
比較 GM{G}{M} 與半徑的長度以判辨 M{M} 位於 C{C} 以內或以外。
GM{G}{M}=(112)2+(62)2=6524.031=\sqrt{{{\left({1}-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left({6}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\approx{4.031}
半徑 =3022.739=\dfrac{{\sqrt{{{30}}}}}{{2}}\approx{2.739}
∴  M{M} 位於 C{C} 以外。
II 錯誤。
III.PQ{P}{Q}=(24)2+(84)2=213=\sqrt{{{\left(-{2}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{4}\right)}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{13}}}
PG{P}{G}=(20.5)2+(82)2=132=\sqrt{{{\left(-{2}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({8}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{13}}{{2}}
QG{Q}{G}=(40.5)2+(42)2=652=\sqrt{{{\left({4}-{0.5}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{2}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}
cosPGQ{\cos}\angle{P}{G}{Q}=(PG)2+(QG)2(PQ)22PGQG=(132)2+(652)2(213)221326520.124=\dfrac{{{\left({P}{G}\right)}^{{2}}+{\left({Q}{G}\right)}^{{2}}-{\left({P}{Q}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{P}{G}\cdot{Q}{G}}}=\dfrac{{{\left(\dfrac{{13}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{13}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot\dfrac{{13}}{{2}}\cdot\dfrac{{\sqrt{{{65}}}}}{{2}}}}\approx{0.124}
PGQ\angle{P}{G}{Q}82.9\approx{82.9}^{\circ}
∴  PGQ\angle{P}{G}{Q} 為一銳角。
III 正確。



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