對稱角錐體的尺寸

主題為「對稱角錐體的尺寸」的題目樣本

題目

圖 (a) 中,ATBCDT{A}{T}{B}{C}{D}{T}' 為六邊形紙卡。已知 AT=DT=13{A}{T}={D}{T}'={13} cm\text{cm}TB=TC=11{T}{B}={T}'{C}={11} cm\text{cm}ABCD{A}{B}{C}{D} 為長方形,其中 AD=7{A}{D}={7} cm\text{cm} 。設 ATB=θ\angle{A}{T}{B}=\theta ,其中 65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ}

圖 (a)圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}T{T}'A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}

(a)假設 θ=66\theta={66}^{\circ}
(i)AB{A}{B} 的長度。
(ii)求紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積。
(4 分)
(b)描述當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積如何變化。試解釋你的答案。(3 分)
(c)假設 θ=74\theta={74}^{\circ} 。將圖 (a) 中的紙卡沿 AB{A}{B}CD{C}{D} 摺起,使得 T{T}T{T}' 接合,成為角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} ,如圖 (b) 所示。求角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} 的體積。(6 分)

題解

(ai)AB2{A}{B}^{{2}}=AT2+TB22(AT)(TB)cosATB={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}
=132+1122(13)(11)cos66={13}^{{2}}+{11}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\cos{{66}}}^{\circ}}1M
=290286cos66={290}-{286}{{\cos{{66}}}^{\circ}}
AB{A}{B}=13.2={13.2} cm\text{cm} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(aii)留意 ATB=DTC\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C} . SSS
ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×(ATB={2}\times{\left(\triangle{A}{T}{B}\right.} 的面積)+(ABCD{)}+{\left({A}{B}{C}{D}\right.} 的面積){)}
=2×12(13)(11)sin66+(7)(13.178517370338788)={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\sin{{66}}}^{\circ}+}{\left({7}\right)}{\left({13.178517370338788}\right)}1M
=223={223} cm2\text{cm}^{{2}} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(b)ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×12(13)(11)sinθ+(7)290286cosθ={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({7}\right)}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}
=(143sinθ+7290286cosθ)={\left({143}{\sin{\theta}}+{7}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}\right)} cm2\text{cm}^{{2}}1M
65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ} 期間,當 θ\theta 增加時, sinθ{\sin{\theta}} 將增加且 cosθ{\cos{\theta}} 將減少,使得 290286cosθ\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}} 增加。 1A
因此,當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡的面積會一直增加。1A
(c)E{E}F{F} 分別為 AB{A}{B}CD{C}{D} 上的點使得 TEAB{T}{E}\bot{A}{B}TFCD{T}{F}\bot{C}{D}
M{M}EF{E}{F} 的中點。
留意 TE{T}{E}=TF={T}{F}TME=90\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ}prop. of isos. △
該角錐體的高度是 TM{T}{M}
AB{A}{B}=290286cos74=\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}1A
考慮 ATB\triangle{A}{T}{B} 的面積,
12(AB)(TE)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}=12(AT)(TB)sin74=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{74}}}^{\circ}}1M
TE{T}{E}=143sin74290286cos74=\dfrac{{{143}{\sin{{74}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}}}
9.45940702488608\approx{9.45940702488608} cm\text{cm}1A
EM2+TM2{E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}=TE2={T}{E}^{{2}}Pyth. theorem
TM{T}{M}9.4594070248860823.52\approx\sqrt{{{9.45940702488608}^{{2}}-{3.5}^{{2}}}}
8.788081773769752\approx{8.788081773769752} cm\text{cm}1A
所求面積=13(AD)(AB)(TM)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}1M
=13(7)(14.53161093053135)(8.788081773769752)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({7}\right)}{\left({14.53161093053135}\right)}{\left({8.788081773769752}\right)}
=298={298} cm3\text{cm}^{{3}} (cor. to 3 sig. fig.)1A



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《羅密歐與朱麗葉》威廉・莎士比亞