對稱角錐體的尺寸

主題為「對稱角錐體的尺寸」的題目樣本

題目

圖 (a) 中,ATBCDT{A}{T}{B}{C}{D}{T}' 為六邊形紙卡。已知 AT=DT=13{A}{T}={D}{T}'={13} cm\text{cm}TB=TC=11{T}{B}={T}'{C}={11} cm\text{cm}ABCD{A}{B}{C}{D} 為長方形,其中 AD=7{A}{D}={7} cm\text{cm} 。設 ATB=θ\angle{A}{T}{B}=\theta ,其中 65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ}

圖 (a)圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}T{T}'A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}

(a)假設 θ=66\theta={66}^{\circ}
(i)AB{A}{B} 的長度。
(ii)求紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積。
(4 分)
(b)描述當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積如何變化。試解釋你的答案。(3 分)
(c)假設 θ=74\theta={74}^{\circ} 。將圖 (a) 中的紙卡沿 AB{A}{B}CD{C}{D} 摺起,使得 T{T}T{T}' 接合,成為角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} ,如圖 (b) 所示。求角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} 的體積。(6 分)

題解

(ai)AB2{A}{B}^{{2}}=AT2+TB22(AT)(TB)cosATB={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}
=132+1122(13)(11)cos66={13}^{{2}}+{11}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\cos{{66}}}^{\circ}}1M
=290286cos66={290}-{286}{{\cos{{66}}}^{\circ}}
AB{A}{B}=13.2={13.2} cm\text{cm} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(aii)留意 ATB=DTC\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C} . SSS
ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×(ATB={2}\times{\left(\triangle{A}{T}{B}\right.} 的面積)+(ABCD{)}+{\left({A}{B}{C}{D}\right.} 的面積){)}
=2×12(13)(11)sin66+(7)(13.178517370338788)={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\sin{{66}}}^{\circ}+}{\left({7}\right)}{\left({13.178517370338788}\right)}1M
=223={223} cm2\text{cm}^{{2}} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(b)ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×12(13)(11)sinθ+(7)290286cosθ={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({7}\right)}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}
=(143sinθ+7290286cosθ)={\left({143}{\sin{\theta}}+{7}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}\right)} cm2\text{cm}^{{2}}1M
65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ} 期間,當 θ\theta 增加時, sinθ{\sin{\theta}} 將增加且 cosθ{\cos{\theta}} 將減少,使得 290286cosθ\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}} 增加。 1A
因此,當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡的面積會一直增加。1A
(c)E{E}F{F} 分別為 AB{A}{B}CD{C}{D} 上的點使得 TEAB{T}{E}\bot{A}{B}TFCD{T}{F}\bot{C}{D}
M{M}EF{E}{F} 的中點。
留意 TE{T}{E}=TF={T}{F}TME=90\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ}prop. of isos. △
該角錐體的高度是 TM{T}{M}
AB{A}{B}=290286cos74=\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}1A
考慮 ATB\triangle{A}{T}{B} 的面積,
12(AB)(TE)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}=12(AT)(TB)sin74=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{74}}}^{\circ}}1M
TE{T}{E}=143sin74290286cos74=\dfrac{{{143}{\sin{{74}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}}}
9.45940702488608\approx{9.45940702488608} cm\text{cm}1A
EM2+TM2{E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}=TE2={T}{E}^{{2}}Pyth. theorem
TM{T}{M}9.4594070248860823.52\approx\sqrt{{{9.45940702488608}^{{2}}-{3.5}^{{2}}}}
8.788081773769752\approx{8.788081773769752} cm\text{cm}1A
所求面積=13(AD)(AB)(TM)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}1M
=13(7)(14.53161093053135)(8.788081773769752)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({7}\right)}{\left({14.53161093053135}\right)}{\left({8.788081773769752}\right)}
=298={298} cm3\text{cm}^{{3}} (cor. to 3 sig. fig.)1A



See Also

立即成為《ePractice 無限操數王》會員!每日操三題,即可輕鬆升級!

專業備試計劃

Premium DSE Preparation Plan


專攻 DSE 數學科,助你高效穩固地提昇評級

Level 4+ 保證及 5** 獎賞

僅中四至中六適用

最優化操練路線

一站滿足所有操數需要

豐富全面溫習套裝及備試工具

首 14 日無條件全額退款


想了解更多有關 ePractice?按這裡下載小冊子!



核心服務 Core Service

無限量「極效練習」、「集中式練習」

查看所有模擬試卷(卷一)題目,包括歷屆試題

無限次進行網上模擬試卷(卷二)

查看所有溫習資源

詳細能力分析及等級預測


專人跟進 Follow-up Service

ePractice 會以電郵、Whatsapp 及電話提醒練習

您可以隨時電郵或 Whatsapp 查詢平台疑難及數學問題,不限次數

ePractice 會定期提供溫習建議


保證 Guarantee

Level 5** 獎勵:會員如在 DSE 取得數學 Level 5** ,將獲贈一套飛往英國、美國或者加拿大的來回機票,唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

Level 4 以下賠償:會員如在 DSE 未能達到數學 Level 4 ,我們將會全額退回所有會費,唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

會藉啟動後 14 日內,可以無條件退款(私人補習費除外)。


贈品 Gift

模擬試卷(八份):建議於 DSE 前四個月內每兩星期做一份。將於考試四個月前寄給閣下,無需額外運費(限於香港境內)

必背公式表:A4 雙面公式表,印有中一至中六最關鍵的數學知識,對溫習非常有幫助。將於考試四個月前與模擬試卷一同寄給閣下。

平台遊戲贈禮:會藉啟動時,可獲練習平台上 500,000 金幣及 5,000 鑽石!





FAQ


有英文版嗎?

有。請在畫面頂部按「用戶」,再按「設定」。在語言選項中,你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」,兩者皆有中英文版。

ePractice 是甚麼?

ePractice 是一個專為中四至中六而設的網站應用程式,旨為協助學生高效地預備 DSE 數學(必修部分)考試。由於 ePractice 是網站應用程式,因此無論使用任何裝置、平台,都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

ePractice 可以取代傳統補習嗎?

雖然 ePractice 不能百份之一百取代傳統補習(包括補習班及私人補習),但可以絕大程度上取代補習服務,因為 ePractice 除了能為你度身訂造練習順序外,更設有短片真人教學,費用還遠低於傳統補習!

為甚麼適合中四至中六學生?

由於正式考試(DSE 數學必修部分)有三分之二(約 67%)的內容是初中程度,因此中四學生已經可以操練大部分的試題。早些開始操練,不但可以早一步掌握考試技巧,更可同時鞏固初中的知識,幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題,非常輕鬆,也不需花大量時間,已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。

有甚麼付款方式?

閣下可使用 PayPal / 信用卡 / Wechat Pay / AlipayHK / 銀行存款機(毋須任何戶口,只需現金)/ 銀行櫃位入帳(毋須任何戶口,只需現金)/ 轉帳(需要銀行戶口)/ PayMe / Faster Payment System (FPS) 付款。 在確定訂單及揀選付款方式後,會有進一步的流程解說。

可以退款嗎?

除了下列特殊情況外,在 ePractice 選購任何會員服務,均享 14 天無條件退款保證。閣下只須向我們聯絡並提供相關訂單編號即可。如果您使用 PayPal 付款,我們會把款項退回您的信用卡。如果您使用其他付款方式,則請提供您的銀行帳號 / FPS ID / PayMe ID,讓我們把退款轉帳給您。
只有以下兩種特殊情況下退款是不允許的:

  1. 會員服務期少於兩個月;或
  2. 交易額少於 HK$100。

甚麼時候會啟動會員服務?

如果您使用 PayPal 成功交易,您的會員服務會立即啟動;而使用轉帳、存款機或銀行入帳付款,則須先把收據發送給我們,我們會在兩個工作天(星期一至五)內核對並啟動您的會員服務。

甚麼時候會收到貨品?

我們會於售後聯絡閣下商討安排,包括送貨地址、聯絡人名稱等等,確定送貨資料後,我們立即寄出郵件,一般會於七個工作天(通常更短)內送達。請留意,如果閣下未設定電郵或電話號碼,則我們只能在平台上聯絡你。

我不想透露私人地址,可以選擇其他收貨地址嗎?

可以。您可以選擇指定便利店、順豐站、智能櫃或油站取件,請按這裡前往有效的地址清單,預先選定方便您的位置取件。

如需要幫助,請隨時透過 Whatsapp 聯絡我們(+852 5516 3953)。





Initiating...


HKDSE 數學試題練習平台


Powered by ePractice

ePractice

HKDSE 試題導向練習平台



「修行的路總是孤獨的,因為智慧必然來自孤獨。」

龍應台《目送》