對稱角錐體的尺寸

主題為「對稱角錐體的尺寸」的題目樣本

題目

圖 (a) 中,ATBCDT{A}{T}{B}{C}{D}{T}' 為六邊形紙卡。已知 AT=DT=13{A}{T}={D}{T}'={13} cm\text{cm}TB=TC=11{T}{B}={T}'{C}={11} cm\text{cm}ABCD{A}{B}{C}{D} 為長方形,其中 AD=7{A}{D}={7} cm\text{cm} 。設 ATB=θ\angle{A}{T}{B}=\theta ,其中 65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ}

圖 (a)圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}T{T}'A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}

(a)假設 θ=66\theta={66}^{\circ}
(i)AB{A}{B} 的長度。
(ii)求紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積。
(4 分)
(b)描述當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡 ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積如何變化。試解釋你的答案。(3 分)
(c)假設 θ=74\theta={74}^{\circ} 。將圖 (a) 中的紙卡沿 AB{A}{B}CD{C}{D} 摺起,使得 T{T}T{T}' 接合,成為角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} ,如圖 (b) 所示。求角錐體 ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} 的體積。(6 分)

題解

(ai)AB2{A}{B}^{{2}}=AT2+TB22(AT)(TB)cosATB={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}
=132+1122(13)(11)cos66={13}^{{2}}+{11}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\cos{{66}}}^{\circ}}1M
=290286cos66={290}-{286}{{\cos{{66}}}^{\circ}}
AB{A}{B}=13.2={13.2} cm\text{cm} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(aii)留意 ATB=DTC\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C} . SSS
ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×(ATB={2}\times{\left(\triangle{A}{T}{B}\right.} 的面積)+(ABCD{)}+{\left({A}{B}{C}{D}\right.} 的面積){)}
=2×12(13)(11)sin66+(7)(13.178517370338788)={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\sin{{66}}}^{\circ}+}{\left({7}\right)}{\left({13.178517370338788}\right)}1M
=223={223} cm2\text{cm}^{{2}} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(b)ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} 的面積
=2×12(13)(11)sinθ+(7)290286cosθ={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({7}\right)}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}
=(143sinθ+7290286cosθ)={\left({143}{\sin{\theta}}+{7}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}\right)} cm2\text{cm}^{{2}}1M
65θ75{65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ} 期間,當 θ\theta 增加時, sinθ{\sin{\theta}} 將增加且 cosθ{\cos{\theta}} 將減少,使得 290286cosθ\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}} 增加。 1A
因此,當 θ\theta65{65}^{\circ} 增加至 75{75}^{\circ} 期間,紙卡的面積會一直增加。1A
(c)E{E}F{F} 分別為 AB{A}{B}CD{C}{D} 上的點使得 TEAB{T}{E}\bot{A}{B}TFCD{T}{F}\bot{C}{D}
M{M}EF{E}{F} 的中點。
留意 TE{T}{E}=TF={T}{F}TME=90\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ}prop. of isos. △
該角錐體的高度是 TM{T}{M}
AB{A}{B}=290286cos74=\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}1A
考慮 ATB\triangle{A}{T}{B} 的面積,
12(AB)(TE)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}=12(AT)(TB)sin74=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{74}}}^{\circ}}1M
TE{T}{E}=143sin74290286cos74=\dfrac{{{143}{\sin{{74}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}}}
9.45940702488608\approx{9.45940702488608} cm\text{cm}1A
EM2+TM2{E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}=TE2={T}{E}^{{2}}Pyth. theorem
TM{T}{M}9.4594070248860823.52\approx\sqrt{{{9.45940702488608}^{{2}}-{3.5}^{{2}}}}
8.788081773769752\approx{8.788081773769752} cm\text{cm}1A
所求面積=13(AD)(AB)(TM)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}1M
=13(7)(14.53161093053135)(8.788081773769752)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({7}\right)}{\left({14.53161093053135}\right)}{\left({8.788081773769752}\right)}
=298={298} cm3\text{cm}^{{3}} (cor. to 3 sig. fig.)1A



See Also


專業備試計劃

DSE Preparation Plan


專攻 DSE 數學科,助你高效穩固地提昇評級

Level 4+ 保證及 5** 獎賞

僅中四至中六適用

最優化操練路線

一站滿足所有操數需要

豐富全面溫習套裝及備試工具

首 14 日無條件全額退款



常見問題

有英文版嗎?

有。請在畫面頂部按「用戶」圖示,然後按「設定」。在語言選項中,你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」,兩者皆有中英文版。

ePractice 是甚麼?

ePractice 是一個專為中四至中六而設的應用程式,旨為協助學生高效地預備 DSE 數學(必修部分)考試。ePractice 是網站應用程式,因此無論使用任何裝置、平台,都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

為甚麼適合中四至中六學生?

由於正式考試(DSE 數學必修部分)有三分之二(約 67%)的內容是初中程度,因此中四學生已經可以操練大部分的試題。提早開始操練,不但可以早一步掌握考試技巧,更可同時鞏固初中的知識,幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題,非常輕鬆,也不需花大量時間,已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。


簡介

ePractice 可以取代傳統補習嗎?

雖然 ePractice 不能完全取代傳統補習(包括補習班及私人補習),但可以絕大程度滿足學生的補習需求,原因除了 ePractice 有特製的極效練習之外,還有豐富的優質教學影片,其講解的效能比一般補習老師更佳!高效練習配合優質講解 ePractice 有超越補習成效的能力!

ePractice 是甚麼?

ePractice 是一個專為中四至中六而設的應用程式,旨為協助學生高效地預備 DSE 數學(必修部分)考試。ePractice 是網站應用程式,因此無論使用任何裝置、平台,都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

為甚麼適合中四至中六學生?

由於正式考試(DSE 數學必修部分)有三分之二(約 67%)的內容是初中程度,因此中四學生已經可以操練大部分的試題。提早開始操練,不但可以早一步掌握考試技巧,更可同時鞏固初中的知識,幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題,非常輕鬆,也不需花大量時間,已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。


帳戶

「體驗帳戶」可以使用多久?

「體驗帳戶」不會過期,但用戶只能做 30 條題目,而且觀看少部分的知識內容。如希望無限量使用 ePractice 的所有練習服務及內容,請成為我們的會員!


有關訂購

如何訂購正式會員?

在主頁按「訂購備試計劃」,再按「選購計劃」,然後選擇適合你的項目。完成後,系統會為你製作訂單,你只需要根據訂單上的簡易指示繳款即可。

甚麼時候會啟動會員服務?

如閣下使用 PayPal 成功交易,您的會員服務會立即啟動;至於其他付款方式,請把收據發送給我們,我們會在一個工作天內核對交易並啟動您的會藉。

如何查看我的訂單?

在右上角按「用戶」圖像,在「帳單」部分內按「我的帳單」。


有關繳款

有甚麼付款方式?

閣下可使用信用卡 / AlipayHK / Faster Payment System (FPS) 付款。 在確定訂單及揀選付款方式後,會有進一步的流程解說。

退款政策

ePractice 提供對所有會員服務購買的 14 天無條件退款保證(恕不適用於服務期少於兩個月的計劃)。請聯絡我們並提供相關訂單編號以進行退款。如您透過信用卡付款,款項將退回至您的信用卡。如使用其他付款方式,請提供您的銀行帳號、FPS ID 或 PayMe ID 以便進行退款轉帳。


使用疑難

有英文版嗎?

有。請在畫面頂部按「用戶」圖示,然後按「設定」。在語言選項中,你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」,兩者皆有中英文版。

可以在 ePractice 列印練習或模擬試卷嗎?

只有「教師配套」才能使用「題目編輯器」列印練習及模擬試卷。學生必須在 ePractice 上進行練習。


聯絡我們

查詢使用疑難、 大量訂購、合作事宜、慈善、發展建議等等,歡迎以下列方法聯絡我們:






Initiating...


HKDSE 數學試題練習平台


Powered by ePractice

ePractice

HKDSE 專業備試平台



「自然喜歡簡潔與統一。」

《史蒂芬喬布斯傳》開普勒