對稱角錐體的尺寸

主題為「對稱角錐體的尺寸」的題目樣本

題目

圖 (a) 中， ${A}{T}{B}{C}{D}{T}'$ 為六邊形紙卡。已知 ${A}{T}={D}{T}'={13}$ $\text{cm}$ 及 ${T}{B}={T}'{C}={11}$ $\text{cm}$ 。 ${A}{B}{C}{D}$ 為長方形，其中 ${A}{D}={7}$ $\text{cm}$ 。設 $\angle{A}{T}{B}=\theta$ ，其中 ${65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ}$ 。

圖 (a)

圖 (b)

{A}

{B}

{C}

{D}

{T}

{T}'

{A}

{B}

{C}

{D}

{T}

(a)	假設 $\theta={66}^{\circ}$ 。
	(i)	求 ${A}{B}$ 的長度。
	(ii)	求紙卡 ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ 的面積。
			(4 分)
(b)	描述當 $\theta$ 由 ${65}^{\circ}$ 增加至 ${75}^{\circ}$ 期間，紙卡 ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ 的面積如何變化。試解釋你的答案。		(3 分)
(c)	假設 $\theta={74}^{\circ}$ 。將圖 (a) 中的紙卡沿 ${A}{B}$ 及 ${C}{D}$ 摺起，使得 ${T}$ 與 ${T}'$ 接合，成為角錐體 ${A}{B}{C}{D}{T}$ ，如圖 (b) 所示。求角錐體 ${A}{B}{C}{D}{T}$ 的體積。		(6 分)

題解

(ai)	${A}{B}^{{2}}$	$={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}$
		$={13}^{{2}}+{11}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\cos{{66}}}^{\circ}}$		1M
		$={290}-{286}{{\cos{{66}}}^{\circ}}$
	${A}{B}$	$={13.2}$ $\text{cm}$ (cor. to 3 sig. fig.)		1A

(aii)	留意 $\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C}$ .		SSS
	${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ 的面積
	$={2}\times{\left(\triangle{A}{T}{B}\right.}$ 的面積 ${)}+{\left({A}{B}{C}{D}\right.}$ 的面積 ${)}$
	$={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{{\sin{{66}}}^{\circ}+}{\left({7}\right)}{\left({13.178517370338788}\right)}$			1M
	$={223}$ $\text{cm}^{{2}}$ (cor. to 3 sig. fig.)			1A

(b)	${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ 的面積
	$={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({11}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({7}\right)}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}$
	$={\left({143}{\sin{\theta}}+{7}\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}\right)}$ $\text{cm}^{{2}}$			1M
	在 ${65}^{\circ}\le\theta\le{75}^{\circ}$ 期間，當 $\theta$ 增加時， ${\sin{\theta}}$ 將增加且 ${\cos{\theta}}$ 將減少，使得 $\sqrt{{{290}-{286}{\cos{\theta}}}}$ 增加。			1A
	因此，當 $\theta$ 由 ${65}^{\circ}$ 增加至 ${75}^{\circ}$ 期間，紙卡的面積會一直增加。			1A

(c)	設 ${E}$ 及 ${F}$ 分別為 ${A}{B}$ 及 ${C}{D}$ 上的點使得 ${T}{E}\bot{A}{B}$ 及 ${T}{F}\bot{C}{D}$ 。
	設 ${M}$ 為 ${E}{F}$ 的中點。
	留意 ${T}{E}$	$={T}{F}$ 及 $\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ}$ 。	prop. of isos. △
	該角錐體的高度是 ${T}{M}$ 。
	${A}{B}$	$=\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}$		1A
	考慮 $\triangle{A}{T}{B}$ 的面積，
	$\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}$	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{74}}}^{\circ}}$		1M
	${T}{E}$	$=\dfrac{{{143}{\sin{{74}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{290}-{286}{\cos{{74}}}^{\circ}}}}}$
		$\approx{9.45940702488608}$ $\text{cm}$		1A
	${E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}$	$={T}{E}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${T}{M}$	$\approx\sqrt{{{9.45940702488608}^{{2}}-{3.5}^{{2}}}}$
		$\approx{8.788081773769752}$ $\text{cm}$		1A
	所求面積	$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}$		1M
		$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({7}\right)}{\left({14.53161093053135}\right)}{\left({8.788081773769752}\right)}$		1M
		$={298}$ $\text{cm}^{{3}}$ (cor. to 3 sig. fig.)		1A

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