對於一遞增的等差數列,求項數的最大值使得該數列之和不大於某數

主題為「對於一遞增的等差數列,求項數的最大值使得該數列之和不大於某數」的題目樣本

題目

對任意正整數 n{n} ,設 A(n)=10n+10{A}{\left({n}\right)}={10}{n}+{10}B(n)=1010n+10{B}{\left({n}\right)}={10}^{{{10}{n}+{10}}}

(a)n{n} 表達 A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}(2 分)
(b)n{n} 的最大值使得 log[B(1)B(2)B(3)B(n)]15950{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}\le{15950}(3 分)

題解

(a)A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}
=20+30+40++(10n+10)={20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}
=n2[20+(10n+10)]=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{20}+{\left({10}{n}+{10}\right)}\right]}S(n)=n2(a+l){S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({a}+{l}\right)}1M
=n2(10n+30)=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}
=5n2+15n={5}{n}^{{2}}+{15}{n}1A或等價
(b)log[B(1)B(2)B(3)B(n)]{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}15950\le{15950}
logB(1)+logB(2)+logB(3)++logB(n){\log{{B}}}{\left({1}\right)}+{\log{{B}}}{\left({2}\right)}+{\log{{B}}}{\left({3}\right)}+\ldots+{\log{{B}}}{\left({n}\right)}15950\le{15950}1M可以被包含
留意到對所有正整數 k{k}logB(k)=A(k){\log{{B}}}{\left({k}\right)}={A}{\left({k}\right)}
A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}15950\le{15950}
5n2+15n{5}{n}^{{2}}+{15}{n}15950\le{15950}1M
5n2+15n15950{5}{n}^{{2}}+{15}{n}-{15950}0\le{0}
(n55)(n+58){\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}0\le{0}
∴  58n55-{58}\le{n}\le{55}接受 0n55{0}\le{n}\le{55}
因此, n{n} 的最大值為 55{55}1A

其他方法

(a)A(n)=10n+10{A}{\left({n}\right)}={10}{n}+{10}
首項
=10(n)+10={10}{\left({n}\right)}+{10}
=20={20}
公差
=A(n+1)A(n)={A}{\left({n}+{1}\right)}-{A}{\left({n}\right)}
=[10(n+1)+10](10n+10)={\left[{10}{\left({n}+{1}\right)}+{10}\right]}-{\left({10}{n}+{10}\right)}
=10={10}
A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}
=n2[2(20)+(n1)10]=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({20}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{10}\right]}S(n)=n2[2a+(n1)d]{S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}\right]}1M
=n2(10n+30)=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}
=5n2+15n={5}{n}^{{2}}+{15}{n}1A或等價
(b)log[B(1)B(2)B(3)B(n)]{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}15950\le{15950}
log(102010301040{\log{{\left({10}^{{20}}{10}^{{30}}{10}^{{40}}\right.}}} \ldots 1010n+10){10}^{{{10}{n}+{10}}}{)}15950\le{15950}
log(1020+30+40++(10n+10)){\log{{\left({10}^{{{20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}}}\right)}}}15950\le{15950}1M可以被包含
log(105n2+15n){\log{{\left({10}^{{{5}{n}^{{2}}+{15}{n}}}\right)}}}15950\le{15950}
5n2+15n{5}{n}^{{2}}+{15}{n}15950\le{15950}1M
(n55)(n+58){\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}0\le{0}
∴  58n55-{58}\le{n}\le{55}接受 0n55{0}\le{n}\le{55}
因此, n{n} 的最大值為 55{55}1A



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龍應台《目送》