對於一遞增的等差數列，求項數的最大值使得該數列之和不大於某數

 (a) 以 ${n}$ 表達 ${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$。 (2 分) (b) 求 ${n}$ 的最大值使得 ${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}\le{15950}$ 。 (3 分)

 (a) ${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$ $={20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}$ $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{20}+{\left({10}{n}+{10}\right)}\right]}$ ${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({a}+{l}\right)}$ 1M $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}$ $={5}{n}^{{2}}+{15}{n}$ 1A 或等價  (b) ${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}$ $\le{15950}$ ${\log{{B}}}{\left({1}\right)}+{\log{{B}}}{\left({2}\right)}+{\log{{B}}}{\left({3}\right)}+\ldots+{\log{{B}}}{\left({n}\right)}$ $\le{15950}$ 1M 可以被包含 留意到對所有正整數 ${k}$，${\log{{B}}}{\left({k}\right)}={A}{\left({k}\right)}$。 ${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$ $\le{15950}$ ${5}{n}^{{2}}+{15}{n}$ $\le{15950}$ 1M ${5}{n}^{{2}}+{15}{n}-{15950}$ $\le{0}$ ${\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}$ $\le{0}$ ∴  $-{58}\le{n}\le{55}$ 接受 ${0}\le{n}\le{55}$ 因此， ${n}$ 的最大值為 ${55}$ 。 1A

 (a) ${A}{\left({n}\right)}={10}{n}+{10}$ 首項 $={10}{\left({n}\right)}+{10}$ $={20}$ 公差 $={A}{\left({n}+{1}\right)}-{A}{\left({n}\right)}$ $={\left[{10}{\left({n}+{1}\right)}+{10}\right]}-{\left({10}{n}+{10}\right)}$ $={10}$ ${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$ $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({20}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{10}\right]}$ ${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}\right]}$ 1M $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}$ $={5}{n}^{{2}}+{15}{n}$ 1A 或等價  (b) ${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}$ $\le{15950}$ ${\log{{\left({10}^{{20}}{10}^{{30}}{10}^{{40}}\right.}}}$ $\ldots$ ${10}^{{{10}{n}+{10}}}{)}$ $\le{15950}$ ${\log{{\left({10}^{{{20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}}}\right)}}}$ $\le{15950}$ 1M 可以被包含 ${\log{{\left({10}^{{{5}{n}^{{2}}+{15}{n}}}\right)}}}$ $\le{15950}$ ${5}{n}^{{2}}+{15}{n}$ $\le{15950}$ 1M ${\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}$ $\le{0}$ ∴  $-{58}\le{n}\le{55}$ 接受 ${0}\le{n}\le{55}$ 因此， ${n}$ 的最大值為 ${55}$ 。 1A

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ePractice 是一個專為中四至中六而設的應用程式，旨為協助學生高效地預備 DSE 數學（必修部分）考試。ePractice 是網站應用程式，因此無論使用任何裝置、平台，都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

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