對於一遞增的等差數列，求項數的最大值使得該數列之和不大於某數

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題目

對任意正整數 ${n}$ ，設 ${A}{\left({n}\right)}={10}{n}+{10}$ 及 ${B}{\left({n}\right)}={10}^{{{10}{n}+{10}}}$ 。

(a)	以 ${n}$ 表達 ${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$ 。									(2 分)
(b)	求 ${n}$ 的最大值使得 ${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}\le{15950}$ 。									(3 分)

題解

(a)	${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$
	$={20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}$
	$=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{20}+{\left({10}{n}+{10}\right)}\right]}$		${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({a}+{l}\right)}$	1M
	$=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}$
	$={5}{n}^{{2}}+{15}{n}$			1A	或等價

(b)	${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}$	$\le{15950}$
	${\log{{B}}}{\left({1}\right)}+{\log{{B}}}{\left({2}\right)}+{\log{{B}}}{\left({3}\right)}+\ldots+{\log{{B}}}{\left({n}\right)}$	$\le{15950}$		1M	可以被包含
	留意到對所有正整數 ${k}$ ， ${\log{{B}}}{\left({k}\right)}={A}{\left({k}\right)}$ 。
	${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$	$\le{15950}$
	${5}{n}^{{2}}+{15}{n}$	$\le{15950}$		1M
	${5}{n}^{{2}}+{15}{n}-{15950}$	$\le{0}$
	${\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}$	$\le{0}$
	∴ $-{58}\le{n}\le{55}$				接受 ${0}\le{n}\le{55}$
	因此， ${n}$ 的最大值為 ${55}$ 。			1A

其他方法

(a)	${A}{\left({n}\right)}={10}{n}+{10}$
	首項
	$={10}{\left({n}\right)}+{10}$
	$={20}$
	公差
	$={A}{\left({n}+{1}\right)}-{A}{\left({n}\right)}$
	$={\left[{10}{\left({n}+{1}\right)}+{10}\right]}-{\left({10}{n}+{10}\right)}$
	$={10}$
	${A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}$
	$=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({20}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{10}\right]}$		${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}\right]}$	1M
	$=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({10}{n}+{30}\right)}$
	$={5}{n}^{{2}}+{15}{n}$			1A	或等價

(b)	${\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}$	$\le{15950}$
	${\log{{\left({10}^{{20}}{10}^{{30}}{10}^{{40}}\right.}}}$ $\ldots$ ${10}^{{{10}{n}+{10}}}{)}$	$\le{15950}$
	${\log{{\left({10}^{{{20}+{30}+{40}+\ldots+{\left({10}{n}+{10}\right)}}}\right)}}}$	$\le{15950}$		1M	可以被包含
	${\log{{\left({10}^{{{5}{n}^{{2}}+{15}{n}}}\right)}}}$	$\le{15950}$
	${5}{n}^{{2}}+{15}{n}$	$\le{15950}$		1M
	${\left({n}-{55}\right)}{\left({n}+{58}\right)}$	$\le{0}$
	∴ $-{58}\le{n}\le{55}$				接受 ${0}\le{n}\le{55}$
	因此， ${n}$ 的最大值為 ${55}$ 。			1A

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