對摺一等腰五邊形卡紙後求所組成的角錐體的體積

主題為「對摺一等腰五邊形卡紙後求所組成的角錐體的體積」的題目樣本

題目

圖 (a) 中, ABCDB{A}{B}{C}{D}{B}' 為五邊形紙卡。已知 AB=AB=36{A}{B}={A}{B}'={36} cm\text{cm}BC=BD=26{B}{C}={B}'{D}={26} cm\text{cm}ABC=ABD=82\angle{A}{B}{C}={A}{B}'{D}={82}^{\circ}

A{A}B{B}C{C}D{D}B{B}'圖 (a)圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}

(a)假定 90BCD140{90}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{140}^{\circ}
(i)A{A}C{C} 之間的距離。
(ii)ACB\angle{A}{C}{B}
(iii)描述當 BCD\angle{B}{C}{D}90{90}^{\circ} 增加至 140{140}^{\circ} 期間該紙卡的面積如何變化。
(7 分)
(b)假定 BCD=129\angle{B}{C}{D}={129}^{\circ}
將圖 (b) 中的紙卡沿 AC{A}{C}AD{A}{D} 摺起,使得 AB{A}{B}AB{A}{B}' 連接成角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} ,如圖 (b) 所示。求角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的體積。
(6 分)

題解

(a)(i)藉餘弦公式,
AC2{A}{C}^{{2}}=AB2+BC22(AB)(BC)(cosABC)={A}{B}^{{2}}+{B}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}\right)}1M
AC2{A}{C}^{{2}}=362+2622(36)(26)(cosABC)={36}^{{2}}+{26}^{{2}}-{2}{\left({36}\right)}{\left({26}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}^{\circ}\right)}
AC{A}{C}=41.36989189={41.36989189} cm\text{cm}
AC{A}{C}41.4\approx{41.4} cm\text{cm}1A接受答案準確至 41.4{41.4} cm\text{cm}
因此, A{A}C{C} 之間的距離為 41.4{41.4} cm\text{cm}
(a)(ii)藉正弦公式,
sinACBAB\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{A}{B}}}=sinABCAC=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{B}{C}}}{{{A}{C}}}1M
sinACB36\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{36}}}=sin8241.36989189=\dfrac{{{\sin{{82}}}^{\circ}}}{{{41.36989189}}}
ACB\angle{A}{C}{B}59.51131342\approx{59.51131342} or ACB120.4886866\angle{A}{C}{B}\approx{120.4886866}^{\circ} (捨去)
ACB\angle{A}{C}{B}59.5\approx{59.5}^{\circ}1A接受答案準確至 59.5{59.5}^{\circ}
(a)(iii)CAD\angle{C}{A}{D}
=1802(BCDACB)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-\angle{A}{C}{B}\right)}base ∠s, isos. △
=1802(BCD59.51131342)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-{59.51131342}^{\circ}\right)}
∵  90BCD140{90}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{140}^{\circ} ,
∴  19.02262683CAD119.0226268{19.02262683}^{\circ}\le\angle{C}{A}{D}\le{119.0226268}^{\circ}
該紙卡的面積
=2(12(36)(26)sin82)+12AC2sinCAD={2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}{\left({36}\right)}{\left({26}\right)}{\sin{{82}}}^{\circ}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}1M
=936sin82+12AC2sinCAD={936}{{\sin{{82}}}^{\circ}+}\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
留意到 936sin82{936}{{\sin{{82}}}^{\circ}}AC{A}{C} 均為常數,因此該紙卡的面積 sinCAD{\sin}\angle{C}{A}{D} 隨正變。1M
再者留意到當 CAD\angle{C}{A}{D}=90={90}^{\circ} 時,因 sin90{{\sin{{90}}}^{\circ}} 為最大,故此該紙卡的面積最大。
CAD=90\angle{C}{A}{D}={90}^{\circ}BCD=59.51131342+180902=104.5113134\angle{B}{C}{D}={59.51131342}^{\circ}+\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={104.5113134}^{\circ}接受答案準確至 105{105}^{\circ}
因此,當 BCD\angle{B}{C}{D}90{90}^{\circ} 增加至 104.5113134{104.5113134}^{\circ} 期間,該紙卡的面積增加。1A必須顯示理由;不必寫出實際面積
BCD\angle{B}{C}{D}104.5113134{104.5113134}^{\circ} 增加至 140{140}^{\circ} 期間,該紙卡的面積減少。
(b)M{M}CD{C}{D} 的中點。
ACM\angle{A}{C}{M}
=12959.51131342={129}^{\circ}-{59.51131342}^{\circ}
=69.48868658={69.48868658}^{\circ}
考慮 ACM\triangle{A}{C}{M}
sinACM{\sin}\angle{A}{C}{M}=AMAC=\dfrac{{{A}{M}}}{{{A}{C}}}1M
sin69.48868658{{\sin{{69.48868658}}}^{\circ}}=AM41.36989189=\dfrac{{{A}{M}}}{{41.36989189}}
AM{A}{M}=38.74716569={38.74716569} cm\text{cm}
CM{C}{M}=AC2AM2=\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}
CM{C}{M}=41.36989189238.747165692=\sqrt{{{41.36989189}^{{2}}-{38.74716569}^{{2}}}}
=14.49569266={14.49569266} cm\text{cm}
考慮 BCD\triangle{B}{C}{D}
BM{B}{M}=BC2CM2=\sqrt{{{B}{C}^{{2}}-{C}{M}^{{2}}}}
BM{B}{M}=26214.495692662=\sqrt{{{26}^{{2}}-{14.49569266}^{{2}}}}
BM{B}{M}=21.58413525={21.58413525} cm\text{cm}
考慮 ABM\triangle{A}{B}{M},藉餘弦公式,
cosAMB{\cos}\angle{A}{M}{B}=(AM)2+(BM)2(AB)22(AM)(BM)=\dfrac{{{\left({A}{M}\right)}^{{2}}+{\left({B}{M}\right)}^{{2}}-{\left({A}{B}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{M}\right)}{\left({B}{M}\right)}}}1M
cosAMB{\cos}\angle{A}{M}{B}38.747165692+21.5841352523622(38.74716569)(21.58413525)\approx\dfrac{{{38.74716569}^{{2}}+{21.58413525}^{{2}}-{36}^{{2}}}}{{{2}{\left({38.74716569}\right)}{\left({21.58413525}\right)}}}
AMB\angle{A}{M}{B}66.34112358\approx{66.34112358}^{\circ}
角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的高
=BMsinAMB={B}{M}{\sin}\angle{A}{M}{B}1M接受 BAsinBAM{B}{A}{\sin}\angle{B}{A}{M}
=21.58413525sin66.34112358={21.58413525}{{\sin{{66.34112358}}}^{\circ}}
=19.77000707={19.77000707} cm\text{cm}
ACD\triangle{A}{C}{D} 的面積
=12(CD)(AM)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({C}{D}\right)}{\left({A}{M}\right)}1M接受 12AC2sinCAD\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
=12(2CM)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}{C}{M}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=12(2AC2AM2)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=12(241.36989189238.747165692)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{41.36989189}^{{2}}-{38.74716569}^{{2}}}}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=561.6670053={561.6670053} cm2\text{cm}^{{2}}
角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的體積
=13(ACD=\dfrac{{1}}{{3}}{\left(\triangle{A}{C}{D}\right.}的面積)({)}{(}角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的高){)}1M
=13(561.6670053)(19.77000707)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({561.6670053}\right)}{\left({19.77000707}\right)}
=3701.386889={3701.386889} cm2\text{cm}^{{2}}
3700\approx{3700} cm3\text{cm}^{{3}}1A接受答案準確至 3700{3700} cm3\text{cm}^{{3}}

A{A}B{B}C{C}D{D}B{B}'圖 (a)36{36}26{26}圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}M{M}

注意:在 (b),求角錐體的高時錯誤以為該高為圖 (a) 中的 12BB\dfrac{{1}}{{2}}{B}{B}' 的解答應給予零分。



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