對摺一等腰五邊形卡紙後求所組成的角錐體的體積

主題為「對摺一等腰五邊形卡紙後求所組成的角錐體的體積」的題目樣本

題目

圖 (a) 中， ABCDB′{A}{B}{C}{D}{B}' 為五邊形紙卡。已知 AB=AB′=36{A}{B}={A}{B}'={36} cm\text{cm} 、 BC=B′D=26{B}{C}={B}'{D}={26} cm\text{cm} 及 ∠ABC=AB′D=82∘\angle{A}{B}{C}={A}{B}'{D}={82}^{\circ} 。

A{A}B{B}C{C}D{D}B′{B}'圖 (a)圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}

(a)假定 90∘≤∠BCD≤140∘{90}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{140}^{\circ} 。
(i)求 A{A} 與 C{C} 之間的距離。
(ii)求 ∠ACB\angle{A}{C}{B} 。
(iii)描述當 ∠BCD\angle{B}{C}{D} 由 90∘{90}^{\circ} 增加至 140∘{140}^{\circ} 期間該紙卡的面積如何變化。
(7 分)
(b)假定 ∠BCD=129∘\angle{B}{C}{D}={129}^{\circ} 。
將圖 (b) 中的紙卡沿 AC{A}{C} 及 AD{A}{D} 摺起，使得 AB{A}{B} 及 AB′{A}{B}' 連接成角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} ，如圖 (b) 所示。求角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的體積。
(6 分)

題解

(a)(i)藉餘弦公式，
AC2{A}{C}^{{2}}=AB2+BC2−2(AB)(BC)(cos∠ABC)={A}{B}^{{2}}+{B}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}\right)}1M
AC2{A}{C}^{{2}}=362+262−2(36)(26)(cos∠ABC∘)={36}^{{2}}+{26}^{{2}}-{2}{\left({36}\right)}{\left({26}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}^{\circ}\right)}
AC{A}{C}=41.36989189={41.36989189} cm\text{cm}
AC{A}{C}≈41.4\approx{41.4} cm\text{cm}1A接受答案準確至 41.4{41.4} cm\text{cm}
因此， A{A} 與 C{C} 之間的距離為 41.4{41.4} cm\text{cm} 。
(a)(ii)藉正弦公式，
sin∠ACBAB\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{A}{B}}}=sin∠ABCAC=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{B}{C}}}{{{A}{C}}}1M
sin∠ACB36\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{36}}}=sin82∘41.36989189=\dfrac{{{\sin{{82}}}^{\circ}}}{{{41.36989189}}}
∠ACB\angle{A}{C}{B}≈59.51131342\approx{59.51131342} or ∠ACB≈120.4886866∘\angle{A}{C}{B}\approx{120.4886866}^{\circ} （捨去）
∠ACB\angle{A}{C}{B}≈59.5∘\approx{59.5}^{\circ}1A接受答案準確至 59.5∘{59.5}^{\circ}
(a)(iii)∠CAD\angle{C}{A}{D}
=180∘−2(∠BCD−∠ACB)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-\angle{A}{C}{B}\right)}base ∠s, isos. △
=180∘−2(∠BCD−59.51131342∘)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-{59.51131342}^{\circ}\right)}
∵  90∘≤∠BCD≤140∘{90}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{140}^{\circ} ,
∴  19.02262683∘≤∠CAD≤119.0226268∘{19.02262683}^{\circ}\le\angle{C}{A}{D}\le{119.0226268}^{\circ}
該紙卡的面積
=2(12(36)(26)sin82∘)+12AC2sin∠CAD={2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}{\left({36}\right)}{\left({26}\right)}{\sin{{82}}}^{\circ}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}1M
=936sin82∘+12AC2sin∠CAD={936}{{\sin{{82}}}^{\circ}+}\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
留意到 936sin82∘{936}{{\sin{{82}}}^{\circ}} 及 AC{A}{C} 均為常數，因此該紙卡的面積 sin∠CAD{\sin}\angle{C}{A}{D} 隨正變。1M
再者留意到當 ∠CAD\angle{C}{A}{D}=90∘={90}^{\circ} 時，因 sin90∘{{\sin{{90}}}^{\circ}} 為最大，故此該紙卡的面積最大。
當 ∠CAD=90∘\angle{C}{A}{D}={90}^{\circ} ， ∠BCD=59.51131342∘+180∘−90∘2=104.5113134∘\angle{B}{C}{D}={59.51131342}^{\circ}+\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={104.5113134}^{\circ} 。接受答案準確至 105∘{105}^{\circ}
因此，當 ∠BCD\angle{B}{C}{D} 由 90∘{90}^{\circ} 增加至 104.5113134∘{104.5113134}^{\circ} 期間，該紙卡的面積增加。1A必須顯示理由；不必寫出實際面積
當 ∠BCD\angle{B}{C}{D} 由 104.5113134∘{104.5113134}^{\circ} 增加至 140∘{140}^{\circ} 期間，該紙卡的面積減少。
(b)設 M{M} 為 CD{C}{D} 的中點。
∠ACM\angle{A}{C}{M}
=129∘−59.51131342∘={129}^{\circ}-{59.51131342}^{\circ}
=69.48868658∘={69.48868658}^{\circ}
考慮 △ACM\triangle{A}{C}{M}，
sin∠ACM{\sin}\angle{A}{C}{M}=AMAC=\dfrac{{{A}{M}}}{{{A}{C}}}1M
sin69.48868658∘{{\sin{{69.48868658}}}^{\circ}}=AM41.36989189=\dfrac{{{A}{M}}}{{41.36989189}}
AM{A}{M}=38.74716569={38.74716569} cm\text{cm}
CM{C}{M}=AC2−AM2=\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}
CM{C}{M}=41.369891892−38.747165692=\sqrt{{{41.36989189}^{{2}}-{38.74716569}^{{2}}}}
=14.49569266={14.49569266} cm\text{cm}
考慮 △BCD\triangle{B}{C}{D} ，
BM{B}{M}=BC2−CM2=\sqrt{{{B}{C}^{{2}}-{C}{M}^{{2}}}}
BM{B}{M}=262−14.495692662=\sqrt{{{26}^{{2}}-{14.49569266}^{{2}}}}
BM{B}{M}=21.58413525={21.58413525} cm\text{cm}
考慮 △ABM\triangle{A}{B}{M}，藉餘弦公式，
cos∠AMB{\cos}\angle{A}{M}{B}=(AM)2+(BM)2−(AB)22(AM)(BM)=\dfrac{{{\left({A}{M}\right)}^{{2}}+{\left({B}{M}\right)}^{{2}}-{\left({A}{B}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{M}\right)}{\left({B}{M}\right)}}}1M
cos∠AMB{\cos}\angle{A}{M}{B}≈38.747165692+21.584135252−3622(38.74716569)(21.58413525)\approx\dfrac{{{38.74716569}^{{2}}+{21.58413525}^{{2}}-{36}^{{2}}}}{{{2}{\left({38.74716569}\right)}{\left({21.58413525}\right)}}}
∠AMB\angle{A}{M}{B}≈66.34112358∘\approx{66.34112358}^{\circ}
角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的高
=BMsin∠AMB={B}{M}{\sin}\angle{A}{M}{B}1M接受 BAsin∠BAM{B}{A}{\sin}\angle{B}{A}{M}
=21.58413525sin66.34112358∘={21.58413525}{{\sin{{66.34112358}}}^{\circ}}
=19.77000707={19.77000707} cm\text{cm}
△ACD\triangle{A}{C}{D} 的面積
=12(CD)(AM)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({C}{D}\right)}{\left({A}{M}\right)}1M接受 12AC2sin∠CAD\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
=12(2CM)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}{C}{M}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=12(2AC2−AM2)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=12(241.369891892−38.747165692)(38.74716569)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{41.36989189}^{{2}}-{38.74716569}^{{2}}}}\right)}{\left({38.74716569}\right)}
=561.6670053={561.6670053} cm2\text{cm}^{{2}}
角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的體積
=13(△ACD=\dfrac{{1}}{{3}}{\left(\triangle{A}{C}{D}\right.}的面積)({)}{(}角錐體 ABCD{A}{B}{C}{D} 的高){)}1M
=13(561.6670053)(19.77000707)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({561.6670053}\right)}{\left({19.77000707}\right)}
=3701.386889={3701.386889} cm2\text{cm}^{{2}}
≈3700\approx{3700} cm3\text{cm}^{{3}}1A接受答案準確至 3700{3700} cm3\text{cm}^{{3}}

A{A}B{B}C{C}D{D}B′{B}'圖 (a)36{36}26{26}圖 (b)A{A}B{B}C{C}D{D}M{M}

注意：在 (b)，求角錐體的高時錯誤以為該高為圖 (a) 中的 12BB′\dfrac{{1}}{{2}}{B}{B}' 的解答應給予零分。


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