在長方體中,求線與面的角

主題為「在長方體中,求線與面的角」的題目樣本

題目

圖中, DCBAEFGH{D}{C}{B}{A}{E}{F}{G}{H} 為一長方體。設 P{P}AE{A}{E} 上的一點使得 AP=21mm{A}{P}={21}\text{mm}EP=19mm{E}{P}={19}\text{mm} 。將 CP{C}{P} 與平面 DCGF{D}{C}{G}{F} 間的交角記為 θ\theta 。求 cosθ{\cos{\theta}}

72mm{72}\text{mm}40mm{40}\text{mm}D{D}C{C}B{B}E{E}F{F}H{H}P{P}G{G}A{A}
A
1517\dfrac{{15}}{{17}}
B
2425\dfrac{{24}}{{25}}
C
817\dfrac{{8}}{{17}}
D
815\dfrac{{8}}{{15}}
題解

CQ{C}{Q}CP{C}{P} 投射到平面 DCGP{D}{C}{G}{P} 的投影線使得
DQ{D}{Q}=AP=21mm={A}{P}={21}\text{mm}PQ=CB=40mm{P}{Q}={C}{B}={40}\text{mm}
,如下圖所示。

72mm{72}\text{mm}40mm{40}\text{mm}21mm{21}\text{mm}40mm{40}\text{mm}D{D}C{C}B{B}E{E}F{F}H{H}P{P}G{G}A{A}Q{Q}θ\theta

DCQ\triangle{D}{C}{Q} ,
CQ2{C}{Q}^{{2}}=DC2+DQ2={D}{C}^{{2}}+{D}{Q}^{{2}}Pyth. theorem
CQ{C}{Q}=75mm={75}\text{mm}
CPQ\triangle{C}{P}{Q} ,
CP2{C}{P}^{{2}}=CQ2+PQ2={C}{Q}^{{2}}+{P}{Q}^{{2}}Pyth. theorem
CP{C}{P}=85mm={85}\text{mm}
∴   cosθ{\cos{\theta}}=CQCP=\dfrac{{{C}{Q}}}{{{C}{P}}}
=7585=\dfrac{{75}}{{85}}
=1517=\dfrac{{15}}{{17}}



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