在疊加的正方形中求兩梯形的比例

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題目

圖中， ${A}{B}{C}{D},{C}{D}{E}{F},{E}{F}{G}{H},{G}{H}{I}{J},$ and ${I}{J}{K}{L}$ 均為正方形。 ${A}{G}$ 分別在 ${P}$ 及 ${Q}$ 穿過 ${C}{D}$ 及 ${E}{F}$ 。求四邊形 ${D}{E}{Q}{P}$ 的面積：四邊形 ${A}{B}{C}{P}$ 的面積。

{H}

{G}

{I}

{J}

{A}

{D}

{E}

{L}

{B}

{C}

{F}

{K}

{P}

{Q}

{1}:{3}

{2}:{9}

{5}:{9}

{25}:{81}

題解

設每一正方形邊長為 ${a}$ ，即 ${A}{B}={B}{C}={K}{L}={a}$ 。
考慮 $\triangle{A}{D}{P}$ 及 $\triangle{A}{L}{K}$ ，留意 $\triangle{A}{D}{P}$ ~ $\triangle{A}{L}{K}$ .
$\dfrac{{{D}{P}}}{{{L}{Y}}}$	$=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{L}}}$	corr. sides, ∼△s
$\dfrac{{{D}{P}}}{{a}}$	$=\dfrac{{a}}{{{5}{a}}}$
${D}{P}$	$=\dfrac{{1}}{{5}}{a}$
考慮 $\triangle{A}{E}{Q}$ 及 $\triangle{A}{L}{K}$ ，留意 $\triangle{A}{E}{Q}$ ~ $\triangle{A}{L}{K}$ .
$\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$	$=\dfrac{{{A}{E}}}{{{A}{L}}}$	corr. sides, ∼△s
$\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$	$=\dfrac{{{2}{a}}}{{{5}{a}}}$
${E}{Q}$	$=\dfrac{{2}}{{5}}{a}$

${P}{C}={a}-\dfrac{{1}}{{5}}{a}=\dfrac{{4}}{{5}}{a}$

題解

	${D}{E}{Q}{P}$ 的面積		$={\left({E}{Q}+{D}{P}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
			$={\left(\dfrac{{2}}{{5}}{a}+\dfrac{{1}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
	${A}{B}{C}{P}$ 的面積		$={\left({A}{B}+{P}{C}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
			$={\left({a}+\dfrac{{4}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
	∴ 所求比		$=\dfrac{{{\left(\dfrac{{2}}{{5}}{a}+\dfrac{{1}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}{{{\left({a}+\dfrac{{4}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}$
			$=\dfrac{{\dfrac{{2}}{{5}}+\dfrac{{1}}{{5}}}}{{{1}+\dfrac{{4}}{{5}}}}$
			$=\dfrac{{1}}{{3}}$

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