在疊加的正方形中求兩梯形的比例

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題目

圖中,ABCD,CDEF,EFGH,GHIJ,{A}{B}{C}{D},{C}{D}{E}{F},{E}{F}{G}{H},{G}{H}{I}{J}, and IJKL{I}{J}{K}{L} 均為正方形。 AG{A}{G} 分別在 P{P}Q{Q} 穿過 CD{C}{D}EF{E}{F} 。求四邊形 DEQP{D}{E}{Q}{P} 的面積:四邊形ABCP{A}{B}{C}{P} 的面積。

H{H}G{G}I{I}J{J}A{A}D{D}E{E}L{L}B{B}C{C}F{F}K{K}P{P}Q{Q}
A
1:3{1}:{3}
B
2:9{2}:{9}
C
5:9{5}:{9}
D
25:81{25}:{81}
題解

設每一正方形邊長為 a{a} ,即AB=BC=KL=a{A}{B}={B}{C}={K}{L}={a}
考慮 ADP\triangle{A}{D}{P}ALK\triangle{A}{L}{K} ,留意 ADP\triangle{A}{D}{P} ~ ALK\triangle{A}{L}{K} .
DPLY\dfrac{{{D}{P}}}{{{L}{Y}}}=ADAL=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{L}}}corr. sides, ∼△s
DPa\dfrac{{{D}{P}}}{{a}}=a5a=\dfrac{{a}}{{{5}{a}}}
DP{D}{P}=15a=\dfrac{{1}}{{5}}{a}
考慮 AEQ\triangle{A}{E}{Q}ALK\triangle{A}{L}{K} ,留意 AEQ\triangle{A}{E}{Q} ~ ALK\triangle{A}{L}{K} .
EQ2a\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}=AEAL=\dfrac{{{A}{E}}}{{{A}{L}}}corr. sides, ∼△s
EQ2a\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}=2a5a=\dfrac{{{2}{a}}}{{{5}{a}}}
EQ{E}{Q}=25a=\dfrac{{2}}{{5}}{a}
PC=a15a=45a{P}{C}={a}-\dfrac{{1}}{{5}}{a}=\dfrac{{4}}{{5}}{a}

題解

DEQP{D}{E}{Q}{P} 的面積=(EQ+DP)a2={\left({E}{Q}+{D}{P}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
=(25a+15a)a2={\left(\dfrac{{2}}{{5}}{a}+\dfrac{{1}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
ABCP{A}{B}{C}{P} 的面積=(AB+PC)a2={\left({A}{B}+{P}{C}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
=(a+45a)a2={\left({a}+\dfrac{{4}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
∴   所求比=(25a+15a)a2(a+45a)a2=\dfrac{{{\left(\dfrac{{2}}{{5}}{a}+\dfrac{{1}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}{{{\left({a}+\dfrac{{4}}{{5}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}
=25+151+45=\dfrac{{\dfrac{{2}}{{5}}+\dfrac{{1}}{{5}}}}{{{1}+\dfrac{{4}}{{5}}}}
=13=\dfrac{{1}}{{3}}



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