在正方形及相似三角形圖形中找邊長,須建立方程

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題目

圖中, FEDC{F}{E}{D}{C} 為一正方形。B{B}FE{F}{E} 延線上的一點使得 EB=12mm{E}{B}={12}\text{mm}ED{E}{D}CB{C}{B} 相交於 A{A}。若 BA=15mm{B}{A}={15}\text{mm} ,則 CA={C}{A}=

F{F}E{E}D{D}C{C}B{B}A{A}
A
45mm{45}\text{mm}
B
36mm{36}\text{mm}
C
51mm{51}\text{mm}
D
27mm{27}\text{mm}
題解

EAB,\triangle{E}{A}{B},
EA2+EB2{E}{A}^{{2}}+{E}{B}^{{2}}=BA2={B}{A}^{{2}}Pyth. theorem
EA{E}{A}=152122=\sqrt{{{15}^{{2}}-{12}^{{2}}}}
=9mm={9}\text{mm}
l{l} 為正方形邊長。
留意 EAB\triangle{E}{A}{B}~FCB\triangle{F}{C}{B}
CFAE\dfrac{{{C}{F}}}{{{A}{E}}}=FBEB=\dfrac{{{F}{B}}}{{{E}{B}}}
l9\dfrac{{l}}{{9}}=12+l12=\dfrac{{{12}+{l}}}{{12}}
12l{12}{l}=108+9l={108}+{9}{l}
l{l}=36mm={36}\text{mm}
DA{D}{A}=EDEA={E}{D}-{E}{A}
=369={36}-{9}
=27mm={27}\text{mm}
CAAB\dfrac{{{C}{A}}}{{{A}{B}}}=FEEB=\dfrac{{{F}{E}}}{{{E}{B}}}Equal ratios theorem
CA{C}{A}=3612×15=\dfrac{{36}}{{12}}\times{15}
=45mm={45}\text{mm}



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