在多個相交的三角形及平行四邊形中以考慮相似三角形及同高的三角形，求其中一個三角形之面積

主題為「在多個相交的三角形及平行四邊形中以考慮相似三角形及同高的三角形，求其中一個三角形之面積」的題目樣本

題目

圖中， ${A}{B}{C}{D}$ 為一平行四邊形。 ${E}$ 為 ${C}{D}$ 上的一點使得 ${D}{E}:{E}{C}={2}:{3}$ 。 ${A}{D}$ 的延線與 ${B}{E}$ 的延線相交於 ${F}$ ，而 ${A}{E}$ 的延線與 ${B}{C}$ 的延線相交於 ${G}$ 。若 $\triangle{D}{E}{F}$ 的面積為 ${16}$ $\text{cm}^{{2}}$ ，則 $\triangle{C}{E}{G}$ 的面積為

{A}

{B}

{C}

{D}

{F}

{G}

{E}

{54}

\text{cm}^{{2}}

。

{24}

\text{cm}^{{2}}

。

{36}

\text{cm}^{{2}}

。

{40}

\text{cm}^{{2}}

。

題解

考慮 $\triangle{D}{E}{F}$ 及 $\triangle{C}{E}{B}$ ，
$\angle{D}{E}{F}$	$=\angle{C}{E}{B}$	vert. opp. ∠s
$\angle{E}{D}{F}$	$=\angle{E}{C}{B}$	alt. ∠s	${D}{F}$ $//$ ${B}{C}$
$\angle{D}{F}{E}$	$=\angle{C}{B}{E}$	alt. ∠s	${D}{F}$ $//$ ${B}{C}$
∴ $\triangle{D}{E}{F}$ ~ $\triangle{C}{E}{B}$		AAA
∴ $\triangle{C}{B}{E}$ 的面積 $={16}\times{\left(\dfrac{{3}}{{2}}\right)}^{{2}}={36}$ $\text{cm}^{{2}}$

考慮 $\triangle{C}{B}{E}$ 及 $\triangle{D}{E}{A}$ 。
由於 ${A}{B}{C}{D}$ 為一平行四邊形，因此 $\triangle{C}{B}{E}$ 與 $\triangle{D}{E}{A}$ 的高相等。
$\triangle{D}{E}{A}$ 的面積
$={\left(\dfrac{{2}}{{3}}\right)}\times{\left(\triangle{C}{B}{E}\right.}$ 的面積 ${)}$
$={\left(\dfrac{{2}}{{3}}\right)}\times{36}$
$={24}$ $\text{cm}^{{2}}$

考慮 $\triangle{D}{E}{A}$ 及 $\triangle{C}{E}{G}$ ，
$\angle{D}{E}{A}$	$=\angle{C}{E}{G}$	vert. opp. ∠s
$\angle{E}{D}{A}$	$=\angle{E}{C}{G}$	alt. ∠s	${A}{F}$ $//$ ${B}{G}$
$\angle{D}{A}{E}$	$=\angle{C}{G}{E}$	alt. ∠s	${A}{F}$ $//$ ${B}{G}$
∴ $\triangle{D}{E}{A}$ ~ $\triangle{C}{E}{G}$		AAA
∴ $\triangle{C}{E}{G}$ 的面積 $={24}\times{\left(\dfrac{{3}}{{2}}\right)}^{{2}}={54}$ $\text{cm}^{{2}}$

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