在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角

主題為「在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角」的題目樣本

題目

下圖顯示一幾何模型 ${A}{B}{C}{D}$ ，其形狀為四面體。已知 $\angle{B}{A}{D}={86}^{\circ}$ 、 $\angle{C}{B}{D}={35}^{\circ}$ 、 ${A}{B}={111}$ $\text{cm}$ 、 ${A}{C}={36}$ $\text{cm}$ 、 ${B}{C}={105}$ $\text{cm}$ 及 ${B}{D}={208}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{B}

{C}

{D}

(a)	求 $\angle{A}{B}{D}$ 及 ${C}{D}$ .									(4 分)
(b)	某工匠宣稱 ${A}{B}$ 與面 ${B}{C}{D}$ 間的交角為 $\angle{A}{B}{C}$ 。你是否同意？試解釋你的答案。									(2 分)

題解

(a)	藉正弦公式，
	$\dfrac{{{\sin}\angle{B}{A}{D}}}{{{B}{D}}}$	$=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{{A}{B}}}$	1M
	$\dfrac{{\sin{{86}}}^{\circ}}{{208}}$	$=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{111}}$
	$\angle{A}{D}{B}$	$\approx{32.16463623}^{\circ}$

	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{180}^{\circ}-{86}^{\circ}-{32.16463623}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{61.83536377}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{61.8}^{\circ}$	1A

	藉餘弦公式，
	${C}{D}^{{2}}$	$={B}{C}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({B}{C}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{C}{B}{D}\right)}$	1M
	${C}{D}$	$=\sqrt{{{105}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({105}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{35}}}^{\circ}\right)}}}$
	${C}{D}$	$\approx{136.0457228}$ $\text{cm}$
	${C}{D}$	$\approx{136}$ $\text{cm}$	1A

(b)	藉餘弦公式，
	${A}{D}^{{2}}$	$={A}{B}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{D}\right)}$
	${A}{D}$	$\approx\sqrt{{{111}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({111}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{61.83536377}}}^{\circ}\right)}}}$
	${A}{D}$	$\approx{183.8195246}$ $\text{cm}$

	考慮 $\triangle{A}{C}{D}$ ，
	${A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}$
	$={36}^{{2}}+{136.0457228}^{{2}}$
	$\approx{19804.43869}$
	${A}{D}^{{2}}$
	$\approx{183.8195246}^{{2}}$
	$\approx{33789.61761}$
	∵ ${A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}\ne{A}{D}^{{2}}$
	∴ $\angle{A}{C}{D}$ 並非直角。		1M	或任何正確的證明以顯示 ${A}{C}$ 與 ${C}{D}$ 缺乏垂直的特性

	∵ $\angle{A}{C}{D}$ 不是直角， ${A}{C}$ 並不垂直 ${B}{C}{D}$ 。
	因此，該宣稱不正確。		1A	必須顯示理由

	下圖顯示了一個可能的情況，而 ${X}$ 與 ${C}$ 並非同一點且兩點均於面 ${B}{C}{D}$ 上。
	留意在圖中， ${A}{X}\bot{B}{X}$ 及 ${A}{X}\bot{X}{D}$ ，則 ${A}{B}$ 與面 ${B}{C}{D}$ 的交角為 $\angle{A}{B}{X}$ 。

{A}

{B}

{C}

{D}

{X}

專業備試計劃

Premium DSE Preparation Plan

專攻 DSE 數學科，助你高效穩固地提昇評級

Level 4+ 保證及 5** 獎賞

僅中四至中六適用

最優化操練路線

一站滿足所有操數需要

豐富全面溫習套裝及備試工具

首 14 日無條件全額退款

想了解更多有關 ePractice？按這裡下載小冊子！

核心服務 Core Service

無限量「極效練習」、「集中式練習」

查看所有模擬試卷（卷一）題目，包括歷屆試題

無限次進行網上模擬試卷（卷二）

查看所有溫習資源

詳細能力分析及等級預測

專人跟進 Follow-up Service

ePractice 會以電郵、Whatsapp 及電話提醒練習

您可以隨時電郵或 Whatsapp 查詢平台疑難及數學問題，不限次數

ePractice 會定期提供溫習建議

保證 Guarantee

Level 5** 獎勵：會員如在 DSE 取得數學 Level 5** ，將獲贈一套飛往英國、美國或者加拿大的來回機票，唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

Level 4 以下賠償：會員如在 DSE 未能達到數學 Level 4 ，我們將會全額退回所有會費，唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。

會藉啟動後 14 日內，可以無條件退款（私人補習費除外）。

贈品 Gift

模擬試卷（八份）：建議於 DSE 前四個月內每兩星期做一份。將於考試四個月前寄給閣下，無需額外運費（限於香港境內）

必背公式表：A4 雙面公式表，印有中一至中六最關鍵的數學知識，對溫習非常有幫助。將於考試四個月前與模擬試卷一同寄給閣下。

平台遊戲贈禮：會藉啟動時，可獲練習平台上 500,000 金幣及 5,000 鑽石！

FAQ

有英文版嗎？

有。請在畫面頂部按「用戶」，再按「設定」。在語言選項中，你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」，兩者皆有中英文版。

ePractice 是甚麼？

ePractice 是一個專為中四至中六而設的網站應用程式，旨為協助學生高效地預備 DSE 數學（必修部分）考試。由於 ePractice 是網站應用程式，因此無論使用任何裝置、平台，都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

ePractice 可以取代傳統補習嗎？

雖然 ePractice 不能百份之一百取代傳統補習（包括補習班及私人補習），但可以絕大程度上取代補習服務，因為 ePractice 除了能為你度身訂造練習順序外，更設有短片真人教學，費用還遠低於傳統補習！

為甚麼適合中四至中六學生？

由於正式考試（DSE 數學必修部分）有三分之二（約 67%）的內容是初中程度，因此中四學生已經可以操練大部分的試題。早些開始操練，不但可以早一步掌握考試技巧，更可同時鞏固初中的知識，幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題，非常輕鬆，也不需花大量時間，已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。

有甚麼付款方式？

閣下可使用 PayPal / 信用卡 / Wechat Pay / AlipayHK / 銀行存款機（毋須任何戶口，只需現金）/ 銀行櫃位入帳（毋須任何戶口，只需現金）/ 轉帳（需要銀行戶口）/ PayMe / Faster Payment System (FPS) 付款。在確定訂單及揀選付款方式後，會有進一步的流程解說。

可以退款嗎？

除了下列特殊情況外，在 ePractice 選購任何會員服務，均享 14 天無條件退款保證。閣下只須向我們聯絡並提供相關訂單編號即可。如果您使用 PayPal 付款，我們會把款項退回您的信用卡。如果您使用其他付款方式，則請提供您的銀行帳號 / FPS ID / PayMe ID，讓我們把退款轉帳給您。
只有以下兩種特殊情況下退款是不允許的：

會員服務期少於兩個月；或
交易額少於 HK$100。

甚麼時候會啟動會員服務？

如果您使用 PayPal 成功交易，您的會員服務會立即啟動；而使用轉帳、存款機或銀行入帳付款，則須先把收據發送給我們，我們會在兩個工作天（星期一至五）內核對並啟動您的會員服務。

甚麼時候會收到貨品？

我們會於售後聯絡閣下商討安排，包括送貨地址、聯絡人名稱等等，確定送貨資料後，我們立即寄出郵件，一般會於七個工作天（通常更短）內送達。請留意，如果閣下未設定電郵或電話號碼，則我們只能在平台上聯絡你。

我不想透露私人地址，可以選擇其他收貨地址嗎？

可以。您可以選擇指定便利店、順豐站、智能櫃或油站取件，請按這裡前往有效的地址清單，預先選定方便您的位置取件。

如需要幫助，請隨時透過 Whatsapp 聯絡我們（+852 5516 3953）。

Initiating...

在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角

See Also

專業備試計劃

FAQ