在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角

主題為「在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角」的題目樣本

題目

下圖顯示一幾何模型 ABCD{A}{B}{C}{D} ,其形狀為四面體。已知 BAD=86\angle{B}{A}{D}={86}^{\circ}CBD=35\angle{C}{B}{D}={35}^{\circ}AB=111{A}{B}={111} cm\text{cm}AC=36{A}{C}={36} cm\text{cm}BC=105{B}{C}={105} cm\text{cm}BD=208{B}{D}={208} cm\text{cm}

A{A}B{B}C{C}D{D}

(a)ABD\angle{A}{B}{D}CD{C}{D} .(4 分)
(b)某工匠宣稱 AB{A}{B} 與面 BCD{B}{C}{D} 間的交角為 ABC\angle{A}{B}{C} 。你是否同意?試解釋你的答案。(2 分)

題解

(a)藉正弦公式,
sinBADBD\dfrac{{{\sin}\angle{B}{A}{D}}}{{{B}{D}}}=sinADBAB=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{{A}{B}}}1M
sin86208\dfrac{{\sin{{86}}}^{\circ}}{{208}}=sinADB111=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{111}}
ADB\angle{A}{D}{B}32.16463623\approx{32.16463623}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}1808632.16463623\approx{180}^{\circ}-{86}^{\circ}-{32.16463623}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}61.83536377\approx{61.83536377}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}61.8\approx{61.8}^{\circ}1A
藉餘弦公式,
CD2{C}{D}^{{2}}=BC2+BD22(BC)(BD)(cosCBD)={B}{C}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({B}{C}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{C}{B}{D}\right)}1M
CD{C}{D}=1052+20822(105)(208)(cos35)=\sqrt{{{105}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({105}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{35}}}^{\circ}\right)}}}
CD{C}{D}136.0457228\approx{136.0457228} cm\text{cm}
CD{C}{D}136\approx{136} cm\text{cm}1A
(b)藉餘弦公式,
AD2{A}{D}^{{2}}=AB2+BD22(AB)(BD)(cosABD)={A}{B}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{D}\right)}
AD{A}{D}1112+20822(111)(208)(cos61.83536377)\approx\sqrt{{{111}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({111}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{61.83536377}}}^{\circ}\right)}}}
AD{A}{D}183.8195246\approx{183.8195246} cm\text{cm}
考慮 ACD\triangle{A}{C}{D}
AC2+CD2{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}
=362+136.04572282={36}^{{2}}+{136.0457228}^{{2}}
19804.43869\approx{19804.43869}
AD2{A}{D}^{{2}}
183.81952462\approx{183.8195246}^{{2}}
33789.61761\approx{33789.61761}
∵  AC2+CD2AD2{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}\ne{A}{D}^{{2}}
∴  ACD\angle{A}{C}{D} 並非直角。1M或任何正確的證明以顯示 AC{A}{C}CD{C}{D} 缺乏垂直的特性
∵  ACD\angle{A}{C}{D} 不是直角, AC{A}{C} 並不垂直 BCD{B}{C}{D}
因此,該宣稱不正確。1A必須顯示理由
下圖顯示了一個可能的情況,而 X{X}C{C} 並非同一點且兩點均於面 BCD{B}{C}{D} 上。
留意在圖中, AXBX{A}{X}\bot{B}{X}AXXD{A}{X}\bot{X}{D} ,則 AB{A}{B} 與面 BCD{B}{C}{D} 的交角為 ABX\angle{A}{B}{X}

A{A}B{B}C{C}D{D}X{X}


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