在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角

主題為「在一非直立四面體中求一邊及一角以判斷一邊與一平面形成的角」的題目樣本

題目

下圖顯示一幾何模型 ${A}{B}{C}{D}$ ，其形狀為四面體。已知 $\angle{B}{A}{D}={86}^{\circ}$ 、 $\angle{C}{B}{D}={35}^{\circ}$ 、 ${A}{B}={111}$ $\text{cm}$ 、 ${A}{C}={36}$ $\text{cm}$ 、 ${B}{C}={105}$ $\text{cm}$ 及 ${B}{D}={208}$ $\text{cm}$ 。

{A}

{B}

{C}

{D}

(a)	求 $\angle{A}{B}{D}$ 及 ${C}{D}$ .									(4 分)
(b)	某工匠宣稱 ${A}{B}$ 與面 ${B}{C}{D}$ 間的交角為 $\angle{A}{B}{C}$ 。你是否同意？試解釋你的答案。									(2 分)

題解

(a)	藉正弦公式，
	$\dfrac{{{\sin}\angle{B}{A}{D}}}{{{B}{D}}}$	$=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{{A}{B}}}$	1M
	$\dfrac{{\sin{{86}}}^{\circ}}{{208}}$	$=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{111}}$
	$\angle{A}{D}{B}$	$\approx{32.16463623}^{\circ}$

	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{180}^{\circ}-{86}^{\circ}-{32.16463623}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{61.83536377}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{D}$	$\approx{61.8}^{\circ}$	1A

	藉餘弦公式，
	${C}{D}^{{2}}$	$={B}{C}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({B}{C}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{C}{B}{D}\right)}$	1M
	${C}{D}$	$=\sqrt{{{105}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({105}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{35}}}^{\circ}\right)}}}$
	${C}{D}$	$\approx{136.0457228}$ $\text{cm}$
	${C}{D}$	$\approx{136}$ $\text{cm}$	1A

(b)	藉餘弦公式，
	${A}{D}^{{2}}$	$={A}{B}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{D}\right)}$
	${A}{D}$	$\approx\sqrt{{{111}^{{2}}+{208}^{{2}}-{2}{\left({111}\right)}{\left({208}\right)}{\left({\cos{{61.83536377}}}^{\circ}\right)}}}$
	${A}{D}$	$\approx{183.8195246}$ $\text{cm}$

	考慮 $\triangle{A}{C}{D}$ ，
	${A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}$
	$={36}^{{2}}+{136.0457228}^{{2}}$
	$\approx{19804.43869}$
	${A}{D}^{{2}}$
	$\approx{183.8195246}^{{2}}$
	$\approx{33789.61761}$
	∵ ${A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}\ne{A}{D}^{{2}}$
	∴ $\angle{A}{C}{D}$ 並非直角。		1M	或任何正確的證明以顯示 ${A}{C}$ 與 ${C}{D}$ 缺乏垂直的特性

	∵ $\angle{A}{C}{D}$ 不是直角， ${A}{C}$ 並不垂直 ${B}{C}{D}$ 。
	因此，該宣稱不正確。		1A	必須顯示理由

	下圖顯示了一個可能的情況，而 ${X}$ 與 ${C}$ 並非同一點且兩點均於面 ${B}{C}{D}$ 上。
	留意在圖中， ${A}{X}\bot{B}{X}$ 及 ${A}{X}\bot{X}{D}$ ，則 ${A}{B}$ 與面 ${B}{C}{D}$ 的交角為 $\angle{A}{B}{X}$ 。

{A}

{B}

{C}

{D}

{X}

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