在一長方體內以畢氏定理及餘弦公式求sin theta

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題目

圖中,ABCDEFGH{A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H} 為一長方體。 AC{A}{C}BD{B}{D} 相交於 P{P}Q{Q}CH{C}{H} 上的一點使得 CQ=6{C}{Q}={6} cm 及 QH=42{Q}{H}={42} cm 。求 sinPFQ{\sin}\angle{P}{F}{Q}

A{A}B{B}C{C}D{D}P{P}Q{Q}F{F}G{G}E{E}H{H}32{32}cm24{24}cm42{42}cm6{6}cm
A
135377\dfrac{{135}}{{377}}
B
352377\dfrac{{352}}{{377}}
C
13729109\dfrac{{137}}{{{29}\sqrt{{{109}}}}}
D
1413109\dfrac{{14}}{{{13}\sqrt{{{109}}}}}
題解

留意到 PFQ\angle{P}{F}{Q} 位於 PFQ\triangle{P}{F}{Q} 內,而在這個三角形中並無任何直角,而且所有角度均為未知數。
要求得 PFQ\angle{P}{F}{Q} ,應該先求 PF{P}{F}FQ{F}{Q}PQ{P}{Q},然後再用餘弦公式。
考慮 ABC\triangle{A}{B}{C}
AC{A}{C}=242+322=40=\sqrt{{{24}^{{2}}+{32}^{{2}}}}={40} cm\text{cm}
AP{A}{P}=PC=12(40)=20={P}{C}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({40}\right)}={20} cm\text{cm}diags. bisect each other
考慮 PQC\triangle{P}{Q}{C}
PQ{P}{Q}=62+202=2109=\sqrt{{{6}^{{2}}+{20}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{109}}} cm\text{cm}
考慮 FAP\triangle{F}{A}{P}
FP{F}{P}=482+202=52=\sqrt{{{48}^{{2}}+{20}^{{2}}}}={52} cm\text{cm}
考慮 FHQ\triangle{F}{H}{Q}
FQ{F}{Q}=402+422=58=\sqrt{{{40}^{{2}}+{42}^{{2}}}}={58} cm\text{cm}
考慮 PFQ\triangle{P}{F}{Q}
cosPFQ{\cos}\angle{P}{F}{Q}=522+582(2109)225258=\dfrac{{{52}^{{2}}+{58}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{109}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{52}\cdot{58}}}cosC=a2+b2c22ab{\cos}\angle{C}=\dfrac{{{a}^{{2}}+{b}^{{2}}-{c}^{{2}}}}{{{2}{a}{b}}}
cosPFQ{\cos}\angle{P}{F}{Q}=352377=\dfrac{{352}}{{377}}
∴  sinPFQ=135377{\sin}\angle{P}{F}{Q}=\dfrac{{135}}{{377}}



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