在一長方體內以畢氏定理及餘弦公式求sin theta

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題目

圖中， ${A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H}$ 為一長方體。 ${A}{C}$ 及 ${B}{D}$ 相交於 ${P}$ 。 ${Q}$ 為 ${C}{H}$ 上的一點使得 ${C}{Q}={6}$ cm 及 ${Q}{H}={42}$ cm 。求 ${\sin}\angle{P}{F}{Q}$ 。

{A}

{B}

{C}

{D}

{P}

{Q}

{F}

{G}

{E}

{H}

{32}

{24}

{42}

{6}

\dfrac{{135}}{{377}}

\dfrac{{352}}{{377}}

\dfrac{{137}}{{{29}\sqrt{{{109}}}}}

\dfrac{{14}}{{{13}\sqrt{{{109}}}}}

題解

留意到 $\angle{P}{F}{Q}$ 位於 $\triangle{P}{F}{Q}$ 內，而在這個三角形中並無任何直角，而且所有角度均為未知數。
要求得 $\angle{P}{F}{Q}$ ，應該先求 ${P}{F}$ 、 ${F}{Q}$ 及 ${P}{Q}$ ，然後再用餘弦公式。

考慮 $\triangle{A}{B}{C}$ ，
${A}{C}$	$=\sqrt{{{24}^{{2}}+{32}^{{2}}}}={40}$ $\text{cm}$
${A}{P}$	$={P}{C}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({40}\right)}={20}$ $\text{cm}$	diags. bisect each other
考慮 $\triangle{P}{Q}{C}$ ，
${P}{Q}$	$=\sqrt{{{6}^{{2}}+{20}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{109}}}$ $\text{cm}$
考慮 $\triangle{F}{A}{P}$ ，
${F}{P}$	$=\sqrt{{{48}^{{2}}+{20}^{{2}}}}={52}$ $\text{cm}$
考慮 $\triangle{F}{H}{Q}$ ，
${F}{Q}$	$=\sqrt{{{40}^{{2}}+{42}^{{2}}}}={58}$ $\text{cm}$

考慮 $\triangle{P}{F}{Q}$ ，
${\cos}\angle{P}{F}{Q}$	$=\dfrac{{{52}^{{2}}+{58}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{109}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{52}\cdot{58}}}$	${\cos}\angle{C}=\dfrac{{{a}^{{2}}+{b}^{{2}}-{c}^{{2}}}}{{{2}{a}{b}}}$
${\cos}\angle{P}{F}{Q}$	$=\dfrac{{352}}{{377}}$
∴ ${\sin}\angle{P}{F}{Q}=\dfrac{{135}}{{377}}$

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