在一個有三個直角三角形的四面體中求tangent theta

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題目

圖中, AB=BC=20{A}{B}={B}{C}={20} m\text{m}BD=21{B}{D}={21} m\text{m}。 若 AB{A}{B} 為立於水平地面 BCD{B}{C}{D} 上的鉛垂柱,其中 CBD=90\angle{C}{B}{D}={90}^{\circ}。若平面 ACD{A}{C}{D} 與水平地面間之交角為 θ\theta,則 tanθ={\tan{\theta}}=

A{A}B{B}C{C}D{D}20{20} m20{20} m21{21} m
A
2921\dfrac{{29}}{{21}}
B
2129\dfrac{{21}}{{29}}
C
2021\dfrac{{20}}{{21}}
D
2120\dfrac{{21}}{{20}}
題解

H{H} 為在線段 CD{C}{D} 上的一點使得 AHCD{A}{H}\bot{C}{D}BHCD{B}{H}\bot{C}{D} ,則 θ\theta=AHB=\angle{A}{H}{B}

A{A}B{B}C{C}D{D}20{20} m20{20} m21{21} mθ\thetaH{H}

考慮 BCD\triangle{B}{C}{D}
CD{C}{D}=202+212=29=\sqrt{{{20}^{{2}}+{21}^{{2}}}}={29} cm\text{cm}
12(20)(21)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({20}\right)}{\left({21}\right)}=12(29)(BH)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({29}\right)}{\left({B}{H}\right)}
BH{B}{H}=42029=\dfrac{{420}}{{29}}
考慮 ABH\triangle{A}{B}{H}
tanθ{\tan{\theta}}=2042029=\dfrac{{20}}{{\dfrac{{420}}{{29}}}}
tanθ{\tan{\theta}}=2921=\dfrac{{29}}{{21}}



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