圓形及直線的方程,兩相交點的中點

主題為「圓形及直線的方程,兩相交點的中點」的題目樣本

題目

C{C} 的圓心的坐標為 (6,10){\left({6},{10}\right)} 。已知 x{x} 軸為 C{C} 的切線。

(a)C{C} 的方程。(2 分)
(b)直線 L{L} 的斜率及 y{y} 截距分別為 1-{1}k{k} 。若 L{L}C{C} 相交於 A{A}B{B} ,以 k{k}AB{A}{B} 的中點的坐標。 (5 分)

題解

(a)留意 C{C} 的半徑為 3{3}1M可被包含
因此, C{C} 的方程為 (x6)2+(y10)2=32{\left({x}-{6}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{10}\right)}^{{2}}={3}^{{2}} .1A或等價
(b)L{L} 的方程為 y=x+k{y}=-{x}+{k}1M
L{L} 的方程代入 x2+y212x20y+36=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{12}{x}-{20}{y}+{36}={0}
可得 x2+(x+k)212x20(x+k)+36{x}^{{2}}+{\left(-{x}+{k}\right)}^{{2}}-{12}{x}-{20}{\left(-{x}+{k}\right)}+{36}=0={0}1M
故此,可得 2x2+(82k)x+(k220k+36){2}{x}^{{2}}+{\left({8}-{2}{k}\right)}{x}+{\left({k}^{{2}}-{20}{k}+{36}\right)}=0={0}
AB{A}{B} 的中點的 x{x} 坐標
=(82k)22=\dfrac{{\dfrac{{-{\left({8}-{2}{k}\right)}}}{{2}}}}{{2}}根的和1M
=4+k2=\dfrac{{-{4}+{k}}}{{2}}1A
AB{A}{B} 的中點的 y{y} 坐標
=(4+k2)+k=-{\left(\dfrac{{-{4}+{k}}}{{2}}\right)}+{k}
=4+k2=\dfrac{{{4}+{k}}}{{2}}
因此,所求的坐標為 (4+k2,4+k2){\left(\dfrac{{-{4}+{k}}}{{2}},\dfrac{{{4}+{k}}}{{2}}\right)}1Af.t.



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