加入一項數據，求差異、平均及域的改變

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題目

設 ${m}_{{1}},{r}_{{1}}$ 及 ${v}_{{1}}$ 分別為某組數 ${\left\lbrace{x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},\ldots,{x}_{{179}}\right\rbrace}$ 的平均值、分佈域或方差。若 ${m}_{{2}},{r}_{{2}}$ 及 ${v}_{{2}}$ 分別為另一組數 ${\left\lbrace{x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},\ldots,{x}_{{179}},{m}_{{1}}\right\rbrace}$ 的平均值、分佈域及方差。則下列何者必為正確?

	I.	${m}_{{1}}={m}_{{2}}$
	II.	${r}_{{1}}>{r}_{{2}}$
	III.	${v}_{{1}}={v}_{{2}}$

I only

I and III only

III only

I, II and III

題解

(I)	增加一組數的平均值至該組數後，新的平均值將不會改變。
	以下為數學證明。
	${m}_{{1}}$	$=\dfrac{{1}}{{179}}{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{x}_{{3}}+\ldots+{x}_{{179}}\right)}$	已知
	新的平均數	$={m}_{{2}}$
		$=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{x}_{{3}}+\ldots+{x}_{{179}}+{m}_{{1}}\right)}$
		$=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({179}{m}_{{1}}+{m}_{{1}}\right)}$
		$=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({180}{m}_{{1}}\right)}$
		$={m}_{{1}}$
	∴ ${m}_{{1}}$	$={m}_{{2}}$
(II)	由於分佈域是最大值與最小值之差，增加一組數的平均值至該組數後，新的域值也不會改變。
	∴ ${r}_{{1}}$	$={r}_{{2}}$
(III)	增加一組數的平均值至該組數後，這組數的標準差將會減少，數據亦會較之前集中。
	而方差的定義為標準差的平方，因此方差亦會減少。
	以下為數學證明。
	${v}_{{1}}=\dfrac{{1}}{{179}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}$
	${v}_{{2}}=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({m}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}$
	$=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{0}\right]}$
	$=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}$
	留意 ${v}_{{1}}$ 及 ${v}_{{2}}$ 的分子相同但 ${v}_{{1}}$ 的分母比 ${v}_{{2}}$ 的分母小。
	∴ ${v}_{{1}}>{v}_{{2}}$ 。

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