加入一項數據,求差異、平均及域的改變

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題目

m1,r1{m}_{{1}},{r}_{{1}}v1{v}_{{1}} 分別為某組數 {x1,x2,x3,,x179}{\left\lbrace{x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},\ldots,{x}_{{179}}\right\rbrace} 的平均值、分佈域或方差。若 m2,r2{m}_{{2}},{r}_{{2}}v2{v}_{{2}} 分別為另一組數 {x1,x2,x3,,x179,m1}{\left\lbrace{x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},\ldots,{x}_{{179}},{m}_{{1}}\right\rbrace} 的平均值、分佈域及方差。則下列何者必為正確?

I.m1=m2{m}_{{1}}={m}_{{2}}
II.r1>r2{r}_{{1}}>{r}_{{2}}
III.v1=v2{v}_{{1}}={v}_{{2}}

A
I only
B
I and III only
C
III only
D
I, II and III
題解

(I)增加一組數的平均值至該組數後,新的平均值將不會改變。
以下為數學證明。
m1{m}_{{1}}=1179(x1+x2+x3++x179)=\dfrac{{1}}{{179}}{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{x}_{{3}}+\ldots+{x}_{{179}}\right)}已知
新的平均數=m2={m}_{{2}}
=1180(x1+x2+x3++x179+m1)=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}+{x}_{{3}}+\ldots+{x}_{{179}}+{m}_{{1}}\right)}
=1180(179m1+m1)=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({179}{m}_{{1}}+{m}_{{1}}\right)}
=1180(180m1)=\dfrac{{1}}{{180}}{\left({180}{m}_{{1}}\right)}
=m1={m}_{{1}}
∴  m1{m}_{{1}}=m2={m}_{{2}}
(II)由於分佈域是最大值與最小值之差,增加一組數的平均值至該組數後,新的域值也不會改變。
∴  r1{r}_{{1}}=r2={r}_{{2}}
(III)增加一組數的平均值至該組數後,這組數的標準差將會減少,數據亦會較之前集中。
而方差的定義為標準差的平方,因此方差亦會減少。
以下為數學證明。
v1=1179[(x1m1)2+(x2m1)2++(x179m1)2]{v}_{{1}}=\dfrac{{1}}{{179}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}
v2=1180[(x1m1)2+(x2m1)2++(x179m1)2+(m1m1)2]{v}_{{2}}=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({m}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}
=1180[(x1m1)2+(x2m1)2++(x179m1)2+0]=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{0}\right]}
=1180[(x1m1)2+(x2m1)2++(x179m1)2]=\dfrac{{1}}{{180}}{\left[{\left({x}_{{1}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+{\left({x}_{{2}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}+\ldots+{\left({x}_{{179}}-{m}_{{1}}\right)}^{{{2}}}\right]}
留意 v1{v}_{{1}}v2{v}_{{2}} 的分子相同但 v1{v}_{{1}} 的分母比 v2{v}_{{2}} 的分母小。
∴  v1>v2{v}_{{1}}>{v}_{{2}}



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