利用比例求平行四邊形之面積

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題目

圖中， ${A}{B}{C}{D}$ 為一平行四邊形。 ${E}$ 及 ${F}$ 分別為在 ${A}{B}$ 及 ${C}{D}$ 上的點。 ${A}{D}$ 的延線與 ${E}{F}$ 的延線相交於 ${G}$ 。已知 ${D}{F}:{F}{C}={3}:{4}$ 及 ${A}{D}:{D}{G}={1}:{1}$ 。若 $\triangle{D}{F}{G}$ 的面積為 ${5}\ \text{ cm}^{{2}}$ ，則平行四邊形 ${A}{B}{C}{D}$ 的面積為

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{F}

{G}

\dfrac{{70}}{{3}}

\text{cm}^{{2}}

。

\dfrac{{40}}{{3}}

\text{cm}^{{2}}

。

\dfrac{{35}}{{2}}

\text{cm}^{{2}}

。

\dfrac{{35}}{{4}}

\text{cm}^{{2}}

。

題解

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{F}

{G}

\theta

{x}

{x}

{4}{y}

{3}{y}

設 ${A}{D}={x},{D}{F}={3}{y},\angle{F}{D}{G}=\theta$ 。
∵	${D}{F}:{F}{C}$	$={3}:{4},$
∴	${F}{C}$	$={4}{y}$
∵	${A}{D}:{D}{G}$	$={1}:{1},$
∴	${D}{G}$	$={x}$
考慮 $\angle{D}{F}{G}$ ，
$\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}\right)}{\left({3}{y}\right)}{\sin{\theta}}$		$={5}$
${x}{y}{\sin{\theta}}$		$=\dfrac{{10}}{{3}}$	$\ldots{\left(\ast\right)}$
${A}{B}{C}{D}$ 的面積
$={2}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}\times{C}{D}\cdot{A}{D}\cdot{\sin{{\left({180}^{\circ}-\theta\right)}}}\right]}$
$={\left({D}{F}+{F}{C}\right)}\cdot{x}\cdot{\sin{\theta}}$				${\sin{{\left({180}^{\circ}-\theta\right)}}}={\sin{\theta}}$
$={\left({3}{y}+{4}{y}\right)}\cdot{x}\cdot{\sin{\theta}}$
$={7}{x}{y}{\sin{\theta}}$
$={7}{\left(\dfrac{{10}}{{3}}\right)}$				代入 ${\left(\ast\right)}$
$=\dfrac{{70}}{{3}}$ $\text{cm}^{{2}}$

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