利用切線定理及其他多個方法求圓的直徑

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題目

圖中， ${A}{B}$ 及 ${A}{C}$ 分別為圓在 ${B}$ 及 ${C}$ 的切線。 ${B}{D}$ 為該圓的一直徑。 ${A}{C}$ 的延線與 ${B}{D}$ 的延線相交於 ${E}$ 。若 ${A}{B}={4}$ $\text{cm}$ 及 ${A}{E}={8.5}$ $\text{cm}$ ，則 ${B}{D}=$

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{4.8}

\text{cm}

。

{2.4}

\text{cm}

。

{5}

\text{cm}

。

{3.6}

\text{cm}

。

題解

方法 ${1}$ ：	透過考慮相等三角形面積
	設 ${O}$ 及 ${r}$ $\text{cm}$ 分別為圓心及半徑。
	連接 ${O}{C}$ 及 ${O}{A}$ 。
	${O}{C}\bot{A}{E}$ 及 ${E}{B}\bot{A}{B}$		tangent ⊥ radius
	${A}{C}$	$={A}{B}={4}$ $\text{cm}$	tangent properties
	${E}{B}$	$=\sqrt{{{8.5}^{{2}}-{4}^{{2}}}}={7.5}$ $\text{cm}$	Pyth. theorem
	$\triangle{A}{E}{B}$ 的面積	$={\left(\triangle{O}{B}{A}\right.}$ 的面積 ${)}+{\left(\triangle{O}{A}{E}\right.}$ 的面積 ${)}$
	$\dfrac{{1}}{{2}}{\left({4}\right)}{\left({7.5}\right)}$	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({4}\right)}{\left({r}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8.5}\right)}{\left({r}\right)}$
	${r}$	$={2.4}$
	∴ ${B}{D}={4.8}$ $\text{cm}$

{A}

{B}

{D}

{E}

{C}

{4}

{8.5}

{7.5}

{r}

{r}

{O}

方法

{1}

方法 ${2}$ ：	透過考慮小直角三角形 $\triangle{O}{C}{E}$
	設 ${O}$ 及 ${r}$ $\text{cm}$ 分別為圓心及半徑。
	連接 ${O}{C}$ 及 ${O}{A}$ 。
	${O}{C}\bot{A}{E}$ 及 ${E}{B}\bot{A}{B}$		tangent ⊥ radius
	${A}{C}$	$={A}{B}={4}$ $\text{cm}$	tangent properties
	${E}{B}$	$=\sqrt{{{8.5}^{{2}}-{4}^{{2}}}}={7.5}$ $\text{cm}$	Pyth. theorem
	${E}{C}$	$={8.5}-{4}={4.5}$ $\text{cm}$
	${E}{O}$	$={\left({7.5}-{r}\right)}$ $\text{cm}$
	考慮 $\triangle{O}{C}{E}$ ，
	${4.5}^{{2}}+{r}^{{2}}$	$={\left({7.5}-{r}\right)}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${\left({7.5}-{r}\right)}^{{2}}-{r}^{{2}}$	$={20.25}$
	${\left({7.5}-{r}+{r}\right)}{\left({7.5}-{r}-{r}\right)}$	$={20.25}$
	${7.5}{\left({7.5}-{2}{r}\right)}$	$={20.25}$
	${r}$	$={2.4}$
	∴ ${B}{D}={4.8}$ $\text{cm}$

{A}

{B}

{D}

{E}

{C}

{4}

{8.5}

{4}

{4.5}

{7.5}

{r}

{r}

{O}

方法

{2}

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