利用切線定理及其他多個方法求圓的直徑

主題為「利用切線定理及其他多個方法求圓的直徑」的題目樣本

題目

圖中,AB{A}{B}AC{A}{C} 分別為圓在 B{B}C{C} 的切線。BD{B}{D} 為該圓的一直徑。AC{A}{C} 的延線與 BD{B}{D} 的延線相交於 E{E} 。 若 AB=4{A}{B}={4} cm\text{cm}AE=8.5{A}{E}={8.5} cm\text{cm},則 BD={B}{D}=

A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}
A
4.8{4.8} cm\text{cm}
B
2.4{2.4} cm\text{cm}
C
5{5} cm\text{cm}
D
3.6{3.6} cm\text{cm}
題解

方法 1{1}透過考慮相等三角形面積
O{O}r{r} cm\text{cm} 分別為圓心及半徑。
連接 OC{O}{C}OA{O}{A}
OCAE{O}{C}\bot{A}{E}EBAB{E}{B}\bot{A}{B}tangent ⊥ radius
AC{A}{C}=AB=4={A}{B}={4} cm\text{cm}tangent properties
EB{E}{B}=8.5242=7.5=\sqrt{{{8.5}^{{2}}-{4}^{{2}}}}={7.5} cm\text{cm}Pyth. theorem
AEB\triangle{A}{E}{B} 的面積=(OBA={\left(\triangle{O}{B}{A}\right.} 的面積 )+(OAE{)}+{\left(\triangle{O}{A}{E}\right.} 的面積){)}
12(4)(7.5)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({4}\right)}{\left({7.5}\right)}=12(4)(r)+12(8.5)(r)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({4}\right)}{\left({r}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8.5}\right)}{\left({r}\right)}
r{r}=2.4={2.4}
∴  BD=4.8{B}{D}={4.8} cm\text{cm}

A{A}B{B}D{D}E{E}C{C}4{4} cm8.5{8.5} cm7.5{7.5} cmr{r}r{r}O{O}方法 1{1}

方法 2{2}透過考慮小直角三角形OCE\triangle{O}{C}{E}
O{O}r{r} cm\text{cm} 分別為圓心及半徑。
連接 OC{O}{C}OA{O}{A}
OCAE{O}{C}\bot{A}{E}EBAB{E}{B}\bot{A}{B}tangent ⊥ radius
AC{A}{C}=AB=4={A}{B}={4} cm\text{cm}tangent properties
EB{E}{B}=8.5242=7.5=\sqrt{{{8.5}^{{2}}-{4}^{{2}}}}={7.5} cm\text{cm}Pyth. theorem
EC{E}{C}=8.54=4.5={8.5}-{4}={4.5} cm\text{cm}
EO{E}{O}=(7.5r)={\left({7.5}-{r}\right)} cm\text{cm}
考慮 OCE\triangle{O}{C}{E}
4.52+r2{4.5}^{{2}}+{r}^{{2}}=(7.5r)2={\left({7.5}-{r}\right)}^{{2}}Pyth. theorem
(7.5r)2r2{\left({7.5}-{r}\right)}^{{2}}-{r}^{{2}}=20.25={20.25}
(7.5r+r)(7.5rr){\left({7.5}-{r}+{r}\right)}{\left({7.5}-{r}-{r}\right)}=20.25={20.25}
7.5(7.52r){7.5}{\left({7.5}-{2}{r}\right)}=20.25={20.25}
r{r}=2.4={2.4}
∴  BD=4.8{B}{D}={4.8} cm\text{cm}

A{A}B{B}D{D}E{E}C{C}4{4} cm8.5{8.5} cm4{4} cm4.5{4.5} cm7.5{7.5} cmr{r}r{r}O{O}方法 2{2}


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