利用三角形的三邊成圓的三等弘求中心角

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題目

圖中， ${O}$ 為圓 ${A}{B}{C}{D}{E}$ 的圓心。 $\triangle{P}{Q}{D}$ 和圓相交於 ${A}$ 、 ${B}$ 、 ${C}$ 、 ${D}$ 及 ${E}$ 。若 $\angle{P}{D}{Q}={82}^{\circ}$ 及 ${A}{B}={C}{D}={D}{E}$ ，則 $\angle{P}{O}{Q}=$

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{P}

{Q}

{82}^{\circ}

{131}^{\circ}

。

{164}^{\circ}

。

{98}^{\circ}

。

{49}^{\circ}

。

題解

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{P}

{Q}

{82}^{\circ}

{M}

{N}

{R}

考慮 $\triangle{O}{Q}{M}$ 及 $\triangle{O}{Q}{N}$ ，
${O}{Q}$	$={O}{Q}$	公共邊
$\angle{O}{M}{Q}$	$=\angle{O}{N}{Q}={90}^{\circ}$	line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord
${O}{M}$	$={O}{N}$	equal chords, equidstant from centre
∴ $\triangle{O}{Q}{M}$	$\stackrel{\sim}{=}\triangle{O}{Q}{N}$	RHS
$\angle{O}{Q}{M}$	$=\angle{O}{Q}{N}$	corr. ∠s ≅△s

同樣地， $\triangle{O}{P}{M}$	$\stackrel{\sim}{=}\triangle{O}{P}{R}$	RHS
$\angle{O}{P}{M}$	$=\angle{O}{P}{R}$	corr. ∠s ≅△s

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{P}

{Q}

{82}^{\circ}

{M}

{N}

{R}

{x}

{x}

{y}

{y}

設 $\angle{O}{Q}{M}=\angle{O}{Q}{N}={x}$ 及 $\angle{O}{P}{M}=\angle{O}{P}{R}={y}$ 。
在 $\triangle{P}{D}{Q}$ 中，
${82}^{\circ}+{2}{x}+{2}{y}$	$={180}^{\circ}$	∠ sum of △
${x}+{y}$	$={49}^{\circ}$
在 $\triangle{P}{O}{Q}$ 中，
$\angle{P}{O}{Q}+{x}+{y}$	$={180}^{\circ}$	∠ sum of △
$\angle{P}{O}{Q}+{49}^{\circ}$	$={180}^{\circ}$
$\angle{P}{O}{Q}$	$={131}^{\circ}$

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