兩個平面之間的夾角

主題為「兩個平面之間的夾角」的題目樣本

題目

圖中， ${A}{B}$ 為立於水平地面 ${B}{C}{D}$ 上的鉛垂柱。已知 $\angle{B}{C}{D}={45}^{\circ}$ 及 $\angle{A}{C}{D}={60}^{\circ}$ 。若平面 ${A}{C}{D}$ 與水平地面 ${B}{C}{D}$ 間之交角為 $\theta$ ，則 ${\cos{\theta}}=$

{45}^{\circ}

{60}^{\circ}

{A}

{C}

{D}

{B}

\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}

。

\dfrac{{1}}{\sqrt{{{2}}}}

。

{1}

。

\sqrt{{{2}}}

。

題解

{45}^{\circ}

{60}^{\circ}

{A}

{C}

{D}

{B}

{E}

\theta

設 ${E}$ 為 ${C}{D}$ 上的一點使得 ${B}{E}\bot{C}{D}$ 及 ${A}{E}\bot{C}{D}$ 。
$\theta=\angle{A}{E}{B}$
考慮 $\triangle{A}{C}{E}$ ，
${{\tan{{60}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{{A}{E}}}{{{C}{E}}}$
${A}{E}$	$={{\tan{{60}}}^{\circ}{C}}{E}=\sqrt{{3}}{C}{E}$	${{\tan{{60}}}^{\circ}=}\sqrt{{3}}$
考慮 $\triangle{B}{C}{D}$ ，
${{\tan{{45}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{{B}{E}}}{{{C}{E}}}$
${B}{E}$	$={C}{E}$	${{\tan{{45}}}^{\circ}=}{1}$
考慮 $\triangle{A}{E}{B}$ ，
${\cos{\theta}}$	$=\dfrac{{{B}{E}}}{{{A}{E}}}$
	$=\dfrac{{{C}{E}}}{{\sqrt{{{3}}}{C}{E}}}$
	$=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}$

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