借貸:計算某年餘下的貸款

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題目

Zachary從銀行借 $31000{31000} 的貸款,年利率為 10%{10}\%,複利息每年結算一次。從首年起,他每年年底還款 $5000{5000} ,他需要多少年才可清還所有貸款?

A
11{11}
B
12{12}
C
9{9}
D
14{14}
題解

R(n){R}{\left({n}\right)} 為第 n{n} 年年底餘下的貸款。
r=1.1{r}={1.1}P=31000{P}={31000}a=5000{a}={5000}
R(1){R}{\left({1}\right)}=31000(1+10%)5000={31000}{\left({1}+{10}\%\right)}-{5000}
=Pra={P}{r}-{a}
R(2){R}{\left({2}\right)}=(Pra)ra={\left({P}{r}-{a}\right)}{r}-{a}
=Pr2ara={P}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}
R(3){R}{\left({3}\right)}=(Pr2ara)ra={\left({P}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}\right)}{r}-{a}
=Pr3ar2ara={P}{r}^{{3}}-{a}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}
R(n){R}{\left({n}\right)}=Prnarn1arn2ara={P}{r}^{{n}}-{a}{r}^{{{n}-{1}}}-{a}{r}^{{{n}-{2}}}-\ldots-{a}{r}-{a}
=Prna(1+r+r2++rn1)={P}{r}^{{n}}-{a}{\left({1}+{r}+{r}^{{2}}+\ldots+{r}^{{{n}-{1}}}\right)}
=Prnarn1r1={P}{r}^{{n}}-{a}\cdot\dfrac{{{r}^{{n}}-{1}}}{{{r}-{1}}}
=Prnarn0.1+a0.1={P}{r}^{{n}}-\dfrac{{{a}{r}^{{n}}}}{{0.1}}+\dfrac{{a}}{{0.1}}
=Prnarn0.1+a0.1={P}{r}^{{n}}-\dfrac{{{a}{r}^{{n}}}}{{0.1}}+\dfrac{{a}}{{0.1}}
=rn(Pa0.1)+a0.1={r}^{{n}}{\left({P}-\dfrac{{a}}{{0.1}}\right)}+\dfrac{{a}}{{0.1}}
R(n){R}{\left({n}\right)}0:\le{0}:
rn(Pa0.1)+a0.1{r}^{{n}}{\left({P}-\dfrac{{a}}{{0.1}}\right)}+\dfrac{{a}}{{0.1}}0\le{0}
rn{r}^{{n}}2.631578947368425\ge{2.631578947368425}
logrn{{\log{{r}}}^{{n}}}log2.631578947368425\ge{\log{{2.631578947368425}}}
nlogr{n}{\log{{r}}}log2.631578947368425\ge{\log{{2.631578947368425}}}
n{n}10.15194838839031\ge{10.15194838839031}



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