以距離公式計算兩固定的點至一線上的一點之距離以求該點的坐標

主題為「以距離公式計算兩固定的點至一線上的一點之距離以求該點的坐標」的題目樣本

題目

A{A} 及點 B{B} 的坐標分別為 (6,1){\left({6},-{1}\right)}(8,13){\left(-{8},{13}\right)}。若 C{C} 為直線 x2y=0{x}-{2}{y}={0} 上的一點使得 AC=BC{A}{C}={B}{C} ,則 C{C}x{x} 坐標為

A
14-{14}
B
7-{7}
C
28-{28}
D
0{0}
題解

C{C}x{x} 坐標為 a{a} ,則其 y{y} 坐標為 a2\dfrac{{a}}{{2}}
即設 C=(a,a2){C}={\left({a},\dfrac{{a}}{{2}}\right)}
AC{A}{C}=BC={B}{C}
(a6)2+(a2+1)2\sqrt{{{\left({a}-{6}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{a}}{{2}}+{1}\right)}^{{2}}}}=(a+8)2+(a213)2=\sqrt{{{\left({a}+{8}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{a}}{{2}}-{13}\right)}^{{2}}}}
(a6)2+(a2+1)2{\left({a}-{6}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{a}}{{2}}+{1}\right)}^{{2}}=(a+8)2+(a213)2={\left({a}+{8}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{a}}{{2}}-{13}\right)}^{{2}}
(a6)2(a+8)2{\left({a}-{6}\right)}^{{2}}-{\left({a}+{8}\right)}^{{2}}=(a213)2(a2+1)2={\left(\dfrac{{a}}{{2}}-{13}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{a}}{{2}}+{1}\right)}^{{2}}
(2a+2)(14){\left({2}{a}+{2}\right)}{\left(-{14}\right)}=(a12)(14)={\left({a}-{12}\right)}{\left(-{14}\right)}利用 a2b2=(a+b)(ab){a}^{{2}}-{b}^{{2}}={\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}
2a+2{2}{a}+{2}=a12={a}-{12}
a{a}=14=-{14}
∴  C{C}x{x} 坐標為14-{14}



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