以扇形減三角形求一圓內的不規則陰影區域面積

主題為「以扇形減三角形求一圓內的不規則陰影區域面積」的題目樣本

題目

圖中,O{O} 為圓心。 C{C}D{D} 均為圓上的點。OBC{O}{B}{C}BAD{B}{A}{D} 均為直線。若 OC=56{O}{C}={56} cm\text{cm}OA=AB=28{O}{A}={A}{B}={28} cm\text{cm},求陰影區域 BCD{B}{C}{D} 的面積準確至最接近的 cm2\text{cm}^{{2}}

O{O}A{A}C{C}D{D}B{B}
A
1803{1803} cm2\text{cm}^{{2}}
B
2090{2090} cm2\text{cm}^{{2}}
C
571{571} cm2\text{cm}^{{2}}
D
2195{2195} cm2\text{cm}^{{2}}
題解

O{O}A{A}C{C}D{D}B{B}α\alphaβ\beta28{28}28{28}56{56}

DOA\angle{D}{O}{A}AOB\angle{A}{O}{B} 分別為 α\alphaβ\beta
OD{O}{D}=OC=56={O}{C}={56} cm\text{cm}radii
考慮 DOA\triangle{D}{O}{A}
cosα{\cos{\alpha}}=2856=\dfrac{{28}}{{56}}
α\alpha=60={60}^{\circ}
考慮 OAB\triangle{O}{A}{B}
OA{O}{A}=OB={O}{B}given
β\beta=180902=45=\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={45}^{\circ}∠ sum of △
∴   陰影區域的面積
=ODC=\text{扇形}{O}{D}{C}   DOA\text{的面積 }\ -\triangle{D}{O}{A}   AOB\text{的面積 }\ -\triangle{A}{O}{B} \text{的面積}
=(60+45360)π(56)212(56)(28)(sin60)12(28)(28)={\left(\dfrac{{{60}^{\circ}+{45}^{\circ}}}{{360}^{\circ}}\right)}\pi{\left({56}\right)}^{{2}}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({56}\right)}{\left({28}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({28}\right)}{\left({28}\right)}
=1803={1803} cm2\text{cm}^{{2}}(準確至最接近的 cm2\text{cm}^{{2}}

其他方法

陰影區域的面積
=ODC=\text{扇形}{O}{D}{C}   DOB\text{的面積 }\ -\triangle{D}{O}{B}   \text{的面積 }\
=(60+45360)π(56)212(56)(282+282)(sin(60+45))={\left(\dfrac{{{60}^{\circ}+{45}^{\circ}}}{{360}^{\circ}}\right)}\pi{\left({56}\right)}^{{2}}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({56}\right)}{\left(\sqrt{{{28}^{{2}}+{28}^{{2}}}}\right)}{\left({\sin{{\left({60}^{\circ}+{45}^{\circ}\right)}}}\right)}OB=282+282{O}{B}=\sqrt{{{28}^{{2}}+{28}^{{2}}}}
=1803={1803} cm2\text{cm}^{{2}}(準確至最接近的 cm2\text{cm}^{{2}}



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