以已知的高度求正四面體體積

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題目

若一正四面體的高為 ${3}$ $\text{cm}$ ，則該四面體的體積為

\dfrac{{27}}{{8}}\sqrt{{3}}

\text{cm}^{{3}}

。

{3}

\text{cm}^{{3}}

。

\dfrac{{27}}{{8}}\sqrt{{6}}

\text{cm}^{{3}}

。

\dfrac{{81}}{{8}}\sqrt{{3}}

\text{cm}^{{3}}

。

題解

{a}

{A}

{B}

{C}

{D}

{M}

{H}

設該正四面的邊長為 ${a}$ ，即 ${A}{B}={B}{C}={a}$ 。
設 ${M}$ 為一在 ${B}{C}$ 上的使得 ${A}{M}\bot{B}{C}$ 。
∴ ${B}{M}$	$={M}{C}=\dfrac{{a}}{{2}}$	prop. of isos. △
${A}{M}$	$=\sqrt{{{a}^{{2}}-{\left(\dfrac{{a}}{{2}}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}$	Pyth. theorem
同樣地， ${D}{M}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}$
設 ${H}$ 為由 ${A}$ 至平面 ${B}{C}{D}$ 的垂足。
${A}{H}$	$={3}$	given
${H}$ 為 $\triangle{B}{C}{D}$ 的內心。
考慮 $\triangle{B}{M}{H}$ ，
$\angle{H}{B}{M}$	$=\dfrac{{60}^{\circ}}{{2}}={30}^{\circ}$
${{\tan{{30}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{{M}{H}}}{{\dfrac{{a}}{{2}}}}$
${M}{H}$	$=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}{\left(\dfrac{{a}}{{2}}\right)}=\dfrac{{a}}{{{2}\sqrt{{3}}}}$	${{\tan{{30}}}^{\circ}=}\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}$
考慮 $\triangle{A}{M}{H}$ ，
${3}^{{2}}$	$={\left({A}{M}^{{2}}\right)}-{\left({M}{H}\right)}^{{2}}$	Pyth. theorem
${3}^{{2}}$	$={\left(\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{a}}{{{2}\sqrt{{3}}}}\right)}^{{2}}$
${9}$	$=\dfrac{{2}}{{3}}\cdot{a}^{{2}}$
${a}$	$=\dfrac{{{3}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}$

正四面體的體積
$=\dfrac{{1}}{{3}}\times{3}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}{\left({a}\right)}{\left({a}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}\right]}$		四面體體積 $=\dfrac{{1}}{{3}}\times{h}\times\text{底面積}$ ；亦可以希羅公式計算其底面積
$=\dfrac{{1}}{{3}}\times{3}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{3}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}\right)}{\left(\dfrac{{{3}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{{3}}}{{2}}\right)}\right]}$
$=\dfrac{{27}}{{8}}\sqrt{{3}}$

其他方法

	對於邊長為 ${a}$ 及高度為 ${h}$ 的任何正四面體，其邊、高及體積的關係如下。
	${a}$		$={h}\cdot\sqrt{{\dfrac{{3}}{{2}}}}$
	${V}$		$=\dfrac{{a}^{{3}}}{{{6}\sqrt{{2}}}}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{8}}{h}^{{3}}$

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