以不同方法判斷二次方程的圖像

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題目

0<a<1{0}<{a}<{1},則下列何者可表示 y=(ax+1)2+a{y}={\left({a}{x}+{1}\right)}^{{2}}+{a} 的圖像?

A
x{x}y{y}
B
x{x}y{y}
C
x{x}y{y}
D
x{x}y{y}
題解

y{y}=(ax+1)2+a={\left({a}{x}+{1}\right)}^{{2}}+{a}
y{y}=[a(x+1a)]2+a={\left[{a}{\left({x}+\dfrac{{1}}{{a}}\right)}\right]}^{{2}}+{a}因式分解出 a{a}
y{y}=a2(x+1a)2+a={a}^{{2}}{\left({x}+\dfrac{{1}}{{a}}\right)}^{{2}}+{a}方程為 y=a(xh)2+k{y}={a}{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}+{k} 的形式
∵  a2>0{a}^{{2}}>{0}
∴   方程的圖像開口向上
∵   方程圖像的頂點為 (1a,a){\left(-\dfrac{{1}}{{a}},{a}\right)}, 其中 a{a} 為一正數,已知 0<a<1{0}<{a}<{1}
∴   頂點的 x{x} 坐標為負數,y{y} 坐標為正數。
∴   答案為一開口向上,頂點的 x{x} 坐標為負數且 y{y} 坐標為正數的圖像。

其他方法

y{y}=(ax+1)2+a={\left({a}{x}+{1}\right)}^{{2}}+{a}
y{y}=a2x2+2ax+1+a={a}^{{2}}{x}^{{2}}+{2}{a}{x}+{1}+{a}
y{y}=a2x2+2ax+(1+a)={a}^{{2}}{x}^{{2}}+{2}{a}{x}+{\left({1}+{a}\right)}
∵  a2>0{a}^{{2}}>{0}
∴   方程的圖像開口向上
判別式 (Δ\Delta) =(2a)24(a2)(1+a)=4a3={\left({2}{a}\right)}^{{2}}-{4}{\left({a}^{{2}}\right)}{\left({1}+{a}\right)}=-{4}{a}^{{3}}方程 ax2+bx+c=0{a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{c}={0} 的判別式為 b24ac{b}^{{2}}-{4}{a}{c}
∵  Δ=4a3<0\Delta=-{4}{a}^{{3}}<{0}已知 0<a<1{0}<{a}<{1}
∴   方程沒有實根
∴   答案為一開口向上而且方程沒有實根的圖像。
(另外,考生亦可從 y{y} 截距或 x{x} 截距考慮圖像的特性。)



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張載(北宋哲學家)