三角函數的性質及值域

主題為「三角函數的性質及值域」的題目樣本

題目

α+β=90\alpha+\beta={90}^{\circ} ,其中 α>0\alpha>{0}^{\circ}β>0\beta>{0}^{\circ} ,則下列何者必為正確?

I.sinα+cos(180+β)=0{\sin{\alpha}}+{\cos{{\left({180}^{\circ}+\beta\right)}}}={0}
II.cosαcos(270β)=0{\cos{\alpha}}-{\cos{{\left({270}^{\circ}-\beta\right)}}}={0}
III.tanαtanβ>0\dfrac{{{\tan{\alpha}}}}{{{\tan{\beta}}}}>{0}

A
I and III only
B
I, II and III
C
II and III only
D
I only
題解

sinα+cos(180+β){\sin{\alpha}}+{\cos{{\left({180}^{\circ}+\beta\right)}}}=sinαcosβ={\sin{\alpha}}-{\cos{\beta}}
=sinαcos(90α)={\sin{\alpha}}-{\cos{{\left({90}^{\circ}-\alpha\right)}}}
=sinαsinα={\sin{\alpha}}-{\sin{\alpha}}
=0={0}
cosαcos(270β){\cos{\alpha}}-{\cos{{\left({270}^{\circ}-\beta\right)}}}=cosα(sinβ)={\cos{\alpha}}-{\left(-{\sin{\beta}}\right)}
=cosα+sinβ={\cos{\alpha}}+{\sin{\beta}}
=cosα+sin(90α)={\cos{\alpha}}+{\sin{{\left({90}^{\circ}-\alpha\right)}}}
=cosα+cosα={\cos{\alpha}}+{\cos{\alpha}}
=2cosα={2}{\cos{\alpha}}
>0>{0}
tanαtanβ\dfrac{{{\tan{\alpha}}}}{{{\tan{\beta}}}}=tanαtan(90α)=\dfrac{{{\tan{\alpha}}}}{{{\tan{{\left({90}^{\circ}-\alpha\right)}}}}}
=tan2α={{\tan}^{{2}}\alpha}
>0>{0}



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