複數簡介

數學知識重點「複數簡介」的樣本

(a)	Imaginary numbers
	The square roots of negative numbers are called imaginary numbers.
	(i)	$\sqrt{{-{1}}}$ is denoted by ${i}$ , i.e. ${i}=\sqrt{{-{1}}}$
	(ii)	$\sqrt{{-{1}}}\cdot\sqrt{{-{1}}}=-{1}$ , i.e. ${i}^{{2}}=-{1}$
	(iii)	For any positive real number, $\sqrt{{-{k}}}=\sqrt{{{k}}}\cdot\sqrt{{-{1}}}=\sqrt{{{k}}}$ ${i}$

(b)	Complex numbers
	A complex number is a number that can be written in the form ${a}+{b}{i}$ , where ${a}$ and ${b}$ are real numbers and ${i}=\sqrt{{-{1}}}$ .
	(i)	${a}$ is called the real part, while ${b}$ is called the imaginary part.
	(ii)	If two complex numbers ${a}+{b}{i}$ and ${c}+{d}{i}$ are equal, then they have equal real parts and equal imaginary parts, i.e. ${a}$	$={c}$ and ${b}={d}$ , and vice versa.
	Note:	Unlike real numbers, it is meaningless to determine which one of any two complex numbers is larger.

	Example
	Solve ${x}^{{2}}-{2}{x}+{10}$		$={0}$ , and express your answers in the form ${a}+{b}{i}$ .

Solution
Using the quadratic formula,
${x}$	$=\dfrac{{-{\left(-{2}\right)}\pm\sqrt{{{\left(-{2}\right)}^{{2}}-{4}{\left({1}\right)}{\left({10}\right)}}}}}{{{2}{\left({1}\right)}}}$
	$=\dfrac{{{2}\pm\sqrt{{-{36}}}}}{{2}}$	$\sqrt{{-{36}}}=\sqrt{{36}}\cdot\sqrt{{-{1}}}={6}{i}$
	$=\dfrac{{{2}\pm{6}{i}}}{{2}}$
	$={1}\pm{3}{i}$
∴ ${x}$	$={1}+{3}{i}$ or ${x}={1}-{3}{i}$

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