等比數列

數學知識重點「等比數列」的樣本

	A geometric sequence is a sequence having a common ratio between any term (except the first term) and its preceding terms.
	i.e. $\dfrac{{T}_{{2}}}{{T}_{{1}}}=\dfrac{{T}_{{3}}}{{T}_{{2}}}=$ … $=\dfrac{{T}_{{n}}}{{T}_{{{n}-{1}}}}=$ … , where ${T}_{{n}}$ is the general term.

(a)	If the first term is ${a}$ and the common ratio is ${r},$ then the general term is given by:
	${T}_{{n}}={a}{r}^{{{n}-{1}}}$ , where ${n}$ is a positive integer.
(b)	Properties of geometric sequences
	(i)	If ${T}_{{{n}-{1}}},{T}_{{n}}$ and ${T}_{{{n}+{1}}}$ are three consecutive terms of a geometric sequence, then ${\left({T}_{{n}}\right)}^{{2}}={T}_{{{n}-{1}}}\times{T}_{{{n}+{1}}}.$
	(ii)	If ${\left\lbrace{T}_{{1}}\right.}$ , ${T}_{{2}}$ , ${T}_{{3}}$ , … ${\rbrace}$ is a geometric sequence, then ${\left\lbrace{k}{T}_{{1}}\right.}$ , ${k}{T}_{{2}}$ , ${k}{T}_{{3}}$ , … ${\rbrace}$ is also a geometric sequence, where ${k}$ is a constant.

	Example
	Consider the geometric sequence ${48}$ , ${y}$ , ${12}$ , ...

(a)	Find the possible value(s) of ${y}$ .
(b)	If all the terms of the sequence are positive, find
	(i)	its general term ${T}{\left({n}\right)}$ ,
	(ii)	the value of ${k}$ such that the ${k}$ th term is $\dfrac{{3}}{{64}}$ .

Solution

(a)	∵	${48}$ , ${y}$ , ${12}$ are in geometric sequence.
	∴	${y}^{{2}}$	$={48}\times{12}$
	${y}$		$={24}$ or ${y}=-{24}$
(b)	(i)	Let ${a}$ and ${r}$ be thr first term and the common ratio respectively.
	∵ All the terms are positive.
	∴ Take ${y}={24}$ .
	${a}={48}$ and ${r}=\dfrac{{24}}{{48}}=\dfrac{{1}}{{2}}$
	∴	${T}{\left({n}\right)}$	$={a}{r}^{{{n}-{1}}}$
			$={48}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{{n}-{1}}}$
			$={48}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{n}}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{-{1}}}$
			$=\dfrac{{96}}{{{2}^{{n}}}}$	or ${3}{\left({2}\right)}^{{{5}-{n}}}$
	(ii)	From (b)(i), we have ${T}{\left({n}\right)}=\dfrac{{96}}{{{2}^{{n}}}}$ .
	${T}{\left({k}\right)}$		$=\dfrac{{3}}{{64}}$
	$\dfrac{{96}}{{2}^{{n}}}$		$=\dfrac{{3}}{{64}}$
	${2}^{{n}}$		$={2048}$
	${n}$		$={{\log}_{{2}}{2048}}$	${{\log}_{{2}}{\left({2}^{{n}}\right)}}={{\log}_{{2}}{\left({2048}\right)}}$
	${n}$		$={11}$

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