等比數列

數學知識重點「等比數列」的樣本


A geometric sequence is a sequence having a common ratio between any term (except the first term) and its preceding terms.
i.e. T2T1=T3T2=\dfrac{{T}_{{2}}}{{T}_{{1}}}=\dfrac{{T}_{{3}}}{{T}_{{2}}}==TnTn1==\dfrac{{T}_{{n}}}{{T}_{{{n}-{1}}}}= … , where Tn{T}_{{n}} is the general term.

(a)If the first term is a{a} and the common ratio is r,{r}, then the general term is given by:
Tn=arn1{T}_{{n}}={a}{r}^{{{n}-{1}}} , where n{n} is a positive integer.
(b)Properties of geometric sequences
(i)If Tn1,Tn{T}_{{{n}-{1}}},{T}_{{n}} and Tn+1{T}_{{{n}+{1}}} are three consecutive terms of a geometric sequence, then (Tn)2=Tn1×Tn+1.{\left({T}_{{n}}\right)}^{{2}}={T}_{{{n}-{1}}}\times{T}_{{{n}+{1}}}.
(ii)If {T1{\left\lbrace{T}_{{1}}\right.} , T2{T}_{{2}} , T3{T}_{{3}} , … }{\rbrace} is a geometric sequence, then {kT1{\left\lbrace{k}{T}_{{1}}\right.} , kT2{k}{T}_{{2}} , kT3{k}{T}_{{3}} , … }{\rbrace} is also a geometric sequence, where k{k} is a constant.

Example
Consider the geometric sequence 48{48} , y{y} , 12{12} , ...

(a)Find the possible value(s) of y{y} .
(b)If all the terms of the sequence are positive, find
(i)its general termT(n){T}{\left({n}\right)} ,
(ii)the value of k{k} such that the k{k}th term is 364\dfrac{{3}}{{64}} .

Solution

(a)∵  48{48} , y{y} , 12{12} are in geometric sequence.
∴  y2{y}^{{2}}=48×12={48}\times{12}
y{y}=24={24} or y=24{y}=-{24}
(b)(i)Let a{a} and r{r} be thr first term and the common ratio respectively.
∵   All the terms are positive.
∴   Take y=24{y}={24} .
a=48{a}={48} and r=2448=12{r}=\dfrac{{24}}{{48}}=\dfrac{{1}}{{2}}
∴  T(n){T}{\left({n}\right)}=arn1={a}{r}^{{{n}-{1}}}
=48(12)n1={48}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{{n}-{1}}}
=48(12)n(12)1={48}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{n}}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{-{1}}}
=962n=\dfrac{{96}}{{{2}^{{n}}}}or 3(2)5n{3}{\left({2}\right)}^{{{5}-{n}}}
(ii)From (b)(i), we have T(n)=962n{T}{\left({n}\right)}=\dfrac{{96}}{{{2}^{{n}}}} .
T(k){T}{\left({k}\right)}=364=\dfrac{{3}}{{64}}
962n\dfrac{{96}}{{2}^{{n}}}=364=\dfrac{{3}}{{64}}
2n{2}^{{n}}=2048={2048}
n{n}=log22048={{\log}_{{2}}{2048}}log2(2n)=log2(2048){{\log}_{{2}}{\left({2}^{{n}}\right)}}={{\log}_{{2}}{\left({2048}\right)}}
n{n}=11={11}


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