等差數列

數學知識重點「等差數列」的樣本


An arithmetic sequence is a sequence having a common difference between any term (except the first term) and its preceding term.
i.e. T2T1=T3T2=TnTn1={T}_{{2}}-{T}_{{1}}={T}_{{3}}-{T}_{{2}}={T}_{{n}}-{T}_{{{n}-{1}}}= … , where Tn{T}_{{n}} is the general term.

(a)If the first term is a{a} and the common difference is d{d} , then the general term is given by:
Tn=a+(n1)d{T}_{{n}}={a}+{\left({n}-{1}\right)}{d} , where n{n} is a positive integer.
(b)Properties of arithmetic sequences
(i)If Tn1,Tn{T}_{{{n}-{1}}},{T}_{{n}} and Tn+1{T}_{{{n}+{1}}} are three consecutive terms of an arithmetic sequence, then
Tn=Tn1+Tn+12{T}_{{n}}=\dfrac{{{T}_{{{n}-{1}}}+{T}_{{{n}+{1}}}}}{{2}} .
(ii)If {T1{\left\lbrace{T}_{{1}}\right.} , T2{T}_{{2}} , T3{T}_{{3}} , … }{\rbrace} is an arithmetic sequence, then {kT1+c{\left\lbrace{k}{T}_{{1}}+{c}\right.} , kT2+c{k}{T}_{{2}}+{c} , kT3+c{k}{T}_{{3}}+{c} , … }{\rbrace} is also an arithmetic sequence, where k{k} and c{c} are constants.

Example
Consider the arithmetic sequence 4{4} , 10{10} , 16{16} , 22{22} , ...
(a)Find the general term T(n){T}{\left({n}\right)} of the sequence.
(b)Hence, show that the sequence with general term P(n){P}{\left({n}\right)}=6n7={6}{n}-{7} is also an arithmetic sequence.

Solution

(a)Let a{a} and d{d} be the first term and the common difference respectively.
a=4{a}={4} and d=104=6{d}={10}-{4}={6}
∵  T(n){T}{\left({n}\right)}=a+(n1)d={a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}
=4+(n1)(6)={4}+{\left({n}-{1}\right)}{\left({6}\right)}
=6n2={6}{n}-{2}
(b)∵  P(n){P}{\left({n}\right)}=6n7={6}{n}-{7}
=(6n2)5={\left({6}{n}-{2}\right)}-{5}
=T(n)5={T}{\left({n}\right)}-{5} ,
and T1{T}_{{1}} , T2{T}_{{2}} , T3{T}_{{3}} , … is an arithmetic sequence.
∴  P(1){P}{\left({1}\right)} , P(2){P}{\left({2}\right)} , P(3){P}{\left({3}\right)} , ... is also an arithmetic sequence.


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