等差數列

數學知識重點「等差數列」的樣本

	An arithmetic sequence is a sequence having a common difference between any term (except the first term) and its preceding term.
	i.e. ${T}_{{2}}-{T}_{{1}}={T}_{{3}}-{T}_{{2}}={T}_{{n}}-{T}_{{{n}-{1}}}=$ … , where ${T}_{{n}}$ is the general term.

(a)	If the first term is ${a}$ and the common difference is ${d}$ , then the general term is given by:
	${T}_{{n}}={a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}$ , where ${n}$ is a positive integer.
(b)	Properties of arithmetic sequences
	(i)	If ${T}_{{{n}-{1}}},{T}_{{n}}$ and ${T}_{{{n}+{1}}}$ are three consecutive terms of an arithmetic sequence, then
	(i)	${T}_{{n}}=\dfrac{{{T}_{{{n}-{1}}}+{T}_{{{n}+{1}}}}}{{2}}$ .
	(ii)	If ${\left\lbrace{T}_{{1}}\right.}$ , ${T}_{{2}}$ , ${T}_{{3}}$ , … ${\rbrace}$ is an arithmetic sequence, then ${\left\lbrace{k}{T}_{{1}}+{c}\right.}$ , ${k}{T}_{{2}}+{c}$ , ${k}{T}_{{3}}+{c}$ , … ${\rbrace}$ is also an arithmetic sequence, where ${k}$ and ${c}$ are constants.

Example
Consider the arithmetic sequence ${4}$ , ${10}$ , ${16}$ , ${22}$ , ...
(a)	Find the general term ${T}{\left({n}\right)}$ of the sequence.
(b)	Hence, show that the sequence with general term ${P}{\left({n}\right)}$	$={6}{n}-{7}$ is also an arithmetic sequence.

Solution

(a)	Let ${a}$ and ${d}$ be the first term and the common difference respectively.
	${a}={4}$ and ${d}={10}-{4}={6}$
	∵	${T}{\left({n}\right)}$	$={a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}$
			$={4}+{\left({n}-{1}\right)}{\left({6}\right)}$
			$={6}{n}-{2}$
(b)	∵	${P}{\left({n}\right)}$	$={6}{n}-{7}$
			$={\left({6}{n}-{2}\right)}-{5}$
			$={T}{\left({n}\right)}-{5}$ ,
		and ${T}_{{1}}$ , ${T}_{{2}}$ , ${T}_{{3}}$ , … is an arithmetic sequence.
	∴	${P}{\left({1}\right)}$ , ${P}{\left({2}\right)}$ , ${P}{\left({3}\right)}$ , ... is also an arithmetic sequence.

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