根之和及根之積

數學知識重點「根之和及根之積」的樣本


(a) If α\alpha and β\beta are the roots of the quadratic equation ax2+bx+c=0{a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{c}={0} , where a0{a}\ne{0} , then
sum of roots =α+β=ba=\alpha+\beta=-\dfrac{{b}}{{a}}
product of roots =αβ=ca=\alpha\beta=\dfrac{{c}}{{a}}
(b)The quadratic equation in x{x} with roots α\alpha and β\beta can be written as:
(xα)(xβ){\left({x}-\alpha\right)}{\left({x}-\beta\right)}=0={0}
x2(α+β)x+αβ{x}^{{2}}-{\left(\alpha+\beta\right)}{x}+\alpha\beta=0={0}
i.e.x2(sum of roots)x+(product of roots){x}^{{2}}-{\left(\text{sum of roots}\right)}{x}+{\left(\text{product of roots}\right)}=0={0}

Example
If α\alpha and β\beta are the roots of the quadratic equation x25x+1=0{x}^{{2}}-{5}{x}+{1}={0} ,
(a)find the values of α+β\alpha+\beta and αβ\alpha\beta .
(b)form a quadratic equation in x{x} whose roots are α1\alpha-{1} and β1\beta-{1} .

Solution
(a)α+β\alpha+\beta=(5)1=5=-\dfrac{{{\left(-{5}\right)}}}{{1}}={5}
αβ\alpha\beta=11=1=\dfrac{{1}}{{1}}={1}
(b)For the required quadratic equatiion,
sum of roots=[(α1)+(β1)]={\left[{\left(\alpha-{1}\right)}+{\left(\beta-{1}\right)}\right]}
=(α+β)2={\left(\alpha+\beta\right)}-{2}
=52={5}-{2}
=3={3}
product of roots=[(α1)(β1)]={\left[{\left(\alpha-{1}\right)}{\left(\beta-{1}\right)}\right]}
=αβ(α+β)+1=\alpha\beta-{\left(\alpha+\beta\right)}+{1}
=15+1={1}-{5}+{1}
=3=-{3}
∴   The required quadratic equation is
x2(3)x+(3){x}^{{2}}-{\left({3}\right)}{x}+{\left(-{3}\right)}=0={0}
x23x3{x}^{{2}}-{3}{x}-{3}=0={0}


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