因式定理的逆定理

數學知識重點「因式定理的逆定理」的樣本


For a polymnomial f(x){f{{\left({x}\right)}}} ,
(a)if xa{x}-{a} is factor of f(x){f{{\left({x}\right)}}} , then f(a)=0{f{{\left({a}\right)}}}={0} .
(b)if mxn{m}{x}-{n} is a factor of f(x){f{{\left({x}\right)}}} , then f(nm){f{{\left(\dfrac{{n}}{{m}}\right)}}}=0={0} .

Example

(a)If x2{x}-{2} is a factor of x3kx2+3x10{x}^{{3}}-{k}{x}^{{2}}+{3}{x}-{10} , find the value of k{k} .
(b)If 2x3+3x23x+k{2}{x}^{{3}}+{3}{x}^{{2}}-{3}{x}+{k} is divisble by 2x+1{2}{x}+{1} , find the value of k{k} .

Solution

(a)Let f(x)=x3kx2+3x10{f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}-{k}{x}^{{2}}+{3}{x}-{10} .
∵   x2{x}-{2} is a factor of f(x){f{{\left({x}\right)}}} .
∴   By the converse of the factor theorem,
f(2){f{{\left({2}\right)}}}=0={0}
(2)3k(2)2+3(2)10{\left({2}\right)}^{{3}}-{k}{\left({2}\right)}^{{2}}+{3}{\left({2}\right)}-{10}=0={0}
84k+610{8}-{4}{k}+{6}-{10}=0={0}
4k{4}{k}=4={4}
k{k}=1={1}
(b)Let g(x)=2x3+3x23x+k{g{{\left({x}\right)}}}={2}{x}^{{3}}+{3}{x}^{{2}}-{3}{x}+{k} ,
∵   g(x){g{{\left({x}\right)}}} is divisible by 2x+1{2}{x}+{1} .
∴   By the converse of the factor theorem,
g(12){g{{\left(-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}}}=0={0}
2(12)3+3(12)23(12)+k{2}{\left(-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{3}}+{3}{\left(-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}-{3}{\left(-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}+{k}=0={0}
14+34+32+k-\dfrac{{1}}{{4}}+\dfrac{{3}}{{4}}+\dfrac{{3}}{{2}}+{k}=0={0}
k{k}=2=-{2}



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