任意三角形之三角比定義

數學知識重點「任意三角形之三角比定義」的樣本

	For a right-angled triangle ${P}{O}{Q}$ with an acute angle $\theta$ on a rectangular coordinate plane, where ${\left({x},{y}\right)}$ are the coordinates of ${P}$ and ${r}$ is the length of ${O}{P}$ , we have
	${\sin{\theta}}$		$=\dfrac{{y}}{{r}}$ , ${\cos{\theta}}=\dfrac{{x}}{{r}}$ , ${\tan{\theta}}=\dfrac{{y}}{{x}}{\left({x}\ne{0}\right)}$ , where ${r}=\sqrt{{{x}^{{2}}+{y}^{{2}}}}$
	The above definition also applies to negative angles or angles greater than ${90}^{\circ}$ .

	Example
	In the figure, ${P}{\left(-{3},-{2}\right)}$ is a point on the terminal side of $\theta$ . Find the values of ${\sin{\theta}}$ , ${\cos{\theta}}$ and ${\tan{\theta}}$ in surd form.

Solution
∵	${x}$	$=-{3}$ , ${y}=-{2}$
∴	${r}$	$={O}{P}$
		$=\sqrt{{{\left(-{3}\right)}^{{2}}+{\left(-{2}\right)}^{{2}}}}$
		$=\sqrt{{{13}}}$
By definition, we have
${\sin{\theta}}$		$=\dfrac{{y}}{{r}}=-\dfrac{{2}}{\sqrt{{{13}}}}=-\dfrac{{{2}\sqrt{{{13}}}}}{{13}}$
${\cos{\theta}}$		$=\dfrac{{x}}{{r}}=-\dfrac{{3}}{\sqrt{{{13}}}}=-\dfrac{{{3}\sqrt{{{13}}}}}{{13}}$
${\tan{\theta}}$		$=\dfrac{{y}}{{x}}=\dfrac{{-{2}}}{{-{{3}}}}=\dfrac{{2}}{{3}}$

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