任意三角形之三角比定義

數學知識重點「任意三角形之三角比定義」的樣本


For a right-angled triangle POQ{P}{O}{Q} with an acute angle θ\theta on a rectangular coordinate plane, where (x,y){\left({x},{y}\right)} are the coordinates of P{P} and r{r} is the length of OP{O}{P}, we have
sinθ{\sin{\theta}}=yr=\dfrac{{y}}{{r}} , cosθ=xr{\cos{\theta}}=\dfrac{{x}}{{r}} , tanθ=yx(x0){\tan{\theta}}=\dfrac{{y}}{{x}}{\left({x}\ne{0}\right)} , where r=x2+y2{r}=\sqrt{{{x}^{{2}}+{y}^{{2}}}}
The above definition also applies to negative angles or angles greater than 90{90}^{\circ} .

Example
In the figure, P(3,2){P}{\left(-{3},-{2}\right)} is a point on the terminal side of θ\theta . Find the values of sinθ{\sin{\theta}} , cosθ{\cos{\theta}} and tanθ{\tan{\theta}} in surd form.

Solution
∵  x{x}=3=-{3} , y=2{y}=-{2}
∴  r{r}=OP={O}{P}
=(3)2+(2)2=\sqrt{{{\left(-{3}\right)}^{{2}}+{\left(-{2}\right)}^{{2}}}}
=13=\sqrt{{{13}}}
By definition, we have
sinθ{\sin{\theta}}=yr=213=21313=\dfrac{{y}}{{r}}=-\dfrac{{2}}{\sqrt{{{13}}}}=-\dfrac{{{2}\sqrt{{{13}}}}}{{13}}
cosθ{\cos{\theta}}=xr=313=31313=\dfrac{{x}}{{r}}=-\dfrac{{3}}{\sqrt{{{13}}}}=-\dfrac{{{3}\sqrt{{{13}}}}}{{13}}
tanθ{\tan{\theta}}=yx=23=23=\dfrac{{y}}{{x}}=\dfrac{{-{2}}}{{-{{3}}}}=\dfrac{{2}}{{3}}



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